∴＝，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°， ∴AF＝AB?sin60°＝2∴＝∴EF＝
，
，
，BF＝AB＝2，
在Rt△BFE中，
BE＝＝＝，
∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE， ∴△OBE是等边三角形， ∴r＝
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°， ∴AE为⊙O的直径， ∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q， 在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4， ∴DN＝DC?sin60°＝2∴PQ＝DN＝2
，
﹣x，
，CN＝CD＝2，
；
设QE＝x，则PE＝2
在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°， ∴AE＝2QE＝2x， ∵PE∥DN， ∴△BPE∽△BND， ∴∴
＝
， ＝
，
∴BP＝10﹣x，
在Rt△ABE与Rt△BPE中，
AB2+AE2＝BP2+PE2，
∴16+4x2＝（10﹣解得，x1＝6∴AE＝2∴BE＝∴r＝
，
或
．
，
＝
＝2
，
x）2+（2
，
﹣x）2，
（舍），x2＝
∴⊙O的半径为2或
10．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，AB＝AD （1）如图1，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，连接BD交AC于点E，若BD为⊙O直径，求证：tan∠CAD＝
；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交⊙O于G，若FG＝2，tan∠GAD＝，求DE的长 ．
（1）证明：∵AB＝AD， ∴
＝
，
∴∠ACB＝∠ACD， ∴CA平分∠BCD；
（2）证明：如图2，过点D作AC的平行线交BC延长线于Q， ∵
＝
，
∴∠CAD＝∠CBD， ∵BD为直径， ∴∠BCD＝90°，
∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝∵DQ∥AC
，
∴∠Q＝∠ACB，∠ACD＝∠CDQ， 由（1）得∠ACB＝∠ACD， ∴∠Q＝∠CDQ， ∴CD＝CQ， ∵CE∥DQ， ∴DE：EB＝CQ：BC， 即DE：EB＝CD：CB， ∴tan∠CAD＝
（3）如图3，过点D、B分别作DH⊥AG于H，BN⊥AG于N，过O作OM⊥AG于M， ∵tan∠GAD＝， ∴设AH＝3k，DH＝4k，
∵∠BAN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠ADH＝90°， ∴∠BAN＝∠ADH，
又∵∠BNA＝∠AHD＝90°，AB＝AD， ∴△ADH≌△BAN（AAS）， ∴BN＝AH＝3k，AN＝DH＝4k， ∵DH∥OM∥BN，且OB＝OD， ∴MH＝MN，NH＝AN﹣AH＝k， ∵OM⊥AG， ∴MA＝MG， ∴AH＝NG＝3k， ∴FN＝3k﹣2，
连接CG，过点C作CP∥AB， 则∠ABF＝∠PCF，∠BAF＝∠P， 又BF＝CF，
∴△ABF≌△PCF（AAS），
；
∴FA＝FP， ∵
＝
，
∴∠BAF＝∠GCB， ∴∠GCF＝∠P， ∴△FCG∽△FPC， ∴CF2＝FG?FP，CF＝BF， 即BN2+FN2＝FG?FA，
∴（3k）2+（3k﹣2）2＝2（4k+3k﹣2）， 解得k＝1 或k＝（∵FN＞0∴舍去）， ∴在Rt△AHD中，
AH＝3，DH＝4，
∴AD＝∴BD＝
＝5，
AB＝5，
∴BF2＝BN2+FN2＝（3k）2+（3k﹣2）2＝10， ∴BF＝∴BC＝2
， ，
∴在Rt△BCD中，
CD＝
∴tan∠CBD＝∴DE＝BD＝
＝，
，
＝＝．
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