11．已知：AB、AC是⊙O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，∠AEO＝∠BDO．
（1）如图1，若∠CAD＝∠COE，求证：
＝
；
（2）如图2，连接OA，若∠OAB＝∠COE，求证：AE＝CD；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交⊙O于点F，点G在AB上，连接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求线段BG的长．
（1）证明：设OE与AB交于点H， ∵∠CAD＝∠COE，∠EHA＝∠DHO， ∴∠AEO＝∠ODA， ∵∠AEO＝∠BDO， ∴∠BDO+∠ADO＝180°， ∴∠ADO＝∠BDO＝90°， ∴OD⊥AB， ∴
（2）证明：∵∠AEO+∠CEO＝180°，∠BDO+∠ADO＝180°，
；
∴∠AEO＝∠BDO， ∴∠CEO＝∠ADO， 在△CEO和ODA中，
∵∠COE＝∠OAD，∠CEO＝∠ADO，OC＝OA， ∴△CEO≌△ODA（AAS）， ∴CE＝OD，∠ECO＝∠AOD， ∴OA＝AC＝OC， ∴△AOC为等边三角形， ∵AE＝AC﹣CE，CD＝OC﹣OD， ∴AE＝CD；
（3）证明：延长FG交OC于点S，延长CO到点T，使OT＝OS，连接AT，BF， 设∠BGF＝α，则∠BGF＝∠SGD＝α， ∵∠ADC＝2∠BGF＝2α，∠ADC＝∠GSD+∠SGD ∴∠DSG＝∠DGS＝α ∴SD＝DG＝1 ∵AE＝CD＝5 ∴CS＝CD﹣SD＝4 在△FOS和△AOT中，
∵OS＝OT，∠SOF＝∠AOT，OF＝OA， ∴△FOS≌△AOT（SAS） ∴∠ATO＝∠FSO＝α， ∵∠ADC＝2α， ∴∠DAT＝∠DTA＝α， ∴AD＝DT， 设OA＝OC＝AC＝r，
∴OT＝OS＝r﹣4，OD＝r﹣5，AD＝DT＝2r﹣9，
在△ADC中，CD＝5，AC＝r，AD＝2r﹣9，∠ACD＝60°， 解△ADC得，r＝8，AD＝7， 过点D作DK⊥OA，在△DOK中，
∵OD＝3，∠DOK＝60°， ∴OK＝，AK＝
，cos∠DAK＝
＝，
，
在△ABF中，AB＝AF×cos∠DAK＝∴BG＝AB﹣AG＝
．
12．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于
H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线； （2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；
（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2
，求EN的长．
（1）证明：如图1，∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠DCA＝90°． ∵
＝
，
∴∠ABD＝∠DCA， ∵∠FAD＝∠ABD， ∴∠FAD＝∠DCA， ∴∠FAD+∠DCA＝90°， ∴CA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线．
（2）证明：如图2，连接OD，∵∴∠ABD＝∠AOD， ∵
＝
，
＝
，
∴∠DBC＝∠DOC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠DOA＝∠DOC， ∴DA＝DC．
（3）如图3，连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°． ∵DA＝DC， ∴DO⊥AC，
∴∠FAC＝∠DOC＝90°， ∴AF∥OM， ∵AO＝OC， ∴OM＝AF．
∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°． ∴∠ODE＝∠OCM． ∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC， ∴∴△ODE≌△OCM， ∴OE＝OM， 设OM＝m， ∴AE＝2
﹣m，AP＝PE＝2﹣
m，DP＝2+m，
∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°， ∴∠AEN＝∠ADE， ∵∠EAN＝∠DPE， ∴△EAN∽△DPE， ∴
＝
，
∴＝，
∴m＝∴AN＝
， ，AE＝
， ．
∴勾股定理得NE＝
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