13．MN是⊙O上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且
，连接AM，BM．
（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，∠ABM＝30°，求∠CMO的度数；
（2）如图2，连接OM，AB，过点O作OD∥AB交MN于点D，求证：∠MOD+2∠DMO＝90°； （3）如图3，连接AN，BN，试猜想AM?MB+AN?NB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠AMB＝90°． ∵
，
∴∠AMN＝∠BMN＝45°．
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM＝30°， ∴∠CMO＝45°﹣30°＝15°；
（2）如图2，连接OA，OB，ON．
∵，
∴∠AON＝∠BON． 又∵OA＝OB， ∴ON⊥AB． ∵OD∥AB， ∴∠DON＝90°． ∵OM＝ON， ∴∠OMN＝∠ONM．
∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°， ∴∠MOD+2∠DMO＝90°；
（3）如图3，延长MB至点M′，使BM′＝AM，连接NM′，作NE⊥MM′于点E．
设AM＝a，BM＝b．
∵四边形AMBN是圆内接四边形，
∴∠A+∠MBN＝180°． ∵∠NBM′+∠MBN＝180°， ∴∠A＝∠NBM′． ∵
，
∴AN＝BN，
∴△AMN≌△BM′N（SAS）， ∴MN＝NM′，BM′＝AM＝a． ∵NE⊥MM′于点E． ∴
∵ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2， ∴
化简得ab+NB2＝16， ∴AM?MB+AN?NB＝16．
14．已知，在△PAB中，PA＝PB，经过A、B作⊙O． （1）如图1，连接PO，求证：PO平分∠APB； （2）如图2，点P在⊙O上，PA：AB＝∠AEB的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，AE经过圆心O，AE交PB于点F，过F作FG⊥BE于点G，
：2，E是⊙O上一点，连接AE、BE．求tan．
．
EF+BG＝14，求线段OF的长度．
（1）证明：连接OA，OB， 则OA＝OB， 又∵PA＝PB， ∴PO垂直平分AB， ∴∴PO平分∠APB；
（2）解：延长PO，交AB于H，过点A作AM⊥PB于M， 由（1）知PH垂直平分AB， ∵PA：AB＝
：2，
，AH＝BH＝1，
∴设AB＝2，则AP＝BP＝∴在Rt△PAH中，
PH＝＝3，
∵S△PAB＝AB?PH＝PB?AM， ∴2×3＝∴AM＝
×AM， ，
在Rt△PAM中，
PM＝
∴tan∠APM＝
＝＝
， ：
＝，
∵∠AEB＝∠APM， ∴tan∠AEB＝；
（3）连接PO并延长，交AB于点H，由（1）知，PH垂直平分AB， ∵AE为直径，
在Rt△EFG中，tan∠FEG＝， ∴设FG＝3x，则EG＝4x，EF＝5x， ∵EF+BG＝14， ∴BG＝14﹣5x，
∴∠ABE＝90°＝∠AHP＝∠PHB， ∴PH∥EB， ∴∠HPB＝∠GBF， ∴△HPB∽△GBF， ∴
＝
＝，
∴＝，
解得，x＝1，
∴EF＝5，BE＝BG+EG＝9+4＝13， ∴AB＝BE＝∴AE＝∴OE＝AE＝∴OF＝OE﹣EF＝
， ＝， ﹣5＝．
， ，
∴线段OF的长度为
15．如图1，在⊙O中，点A为的中点，点D在⊙O上．
（1）求证：∠BAC+2∠ADB＝180°；
（2）如图2，点G为⊙O上一点，DG与BC的延长线交于点K，若∠CBD＝2∠ABC，BC＝
CK，求证：BG＝KG；
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