概率论第四章课后习题解答

相关系数?XY??1，试写出X和Y的联合概率密度。 42122解

因为?1??2?0，??3，??4，?XY??的概率密度式有

1，由二维正态分布 4f(x,y)?12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2?1exp{[?2??]} 22222(1??)????1??1122x21xyy2?exp{[??]}

112(1?)321242?1216161?1?8x2xyy2 ?exp{[??]}

15343412?5436、已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均为7300，均方差是700，利用切

比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p。

2解 已知 ??7300，??700，??4900

00X? P{52?94?0P0}?{520?X0?7300??7 3 ?P{?2100?X?7300?2100}

7002 ?P{|X?7300|?2100}?1? 22100723928? ?1?2?21441937、对两个随机变量V和W，若E(V)，E(W)存在，证明 E(VW)?E(V)E(W)

这一不等式称为柯西－许瓦兹（Cachy-Schwarz）不等式.

2证明 （1）若E(V)?0，则P{V?0}?1（在方差的性质4中令E(X)?0即得）

22222由此 P{WV?0}?1，因此E(WV)?0， 所以 E(VW)?E(V)E(W)成立。

同理 E(W)?0时 E(VW)?E(V)E(W)成立。

2222222（2）考虑 E(V2)?0，E(W2)?0 设实变量t函数

?(t)?E[V(?t2W)?]2E(V?)22tE(?VW) 2tE(W)因为对于任意的t E[(V?所以二次三项式?(t)的判别式

2tW)?]，0E(W2)?0，

??4[E(VW)]2?4E(V2)E(W2)?0 即有 E(VW)2?E(V2)E(W2)