第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
基础知识整合
1．离散型随机变量的均值与方差 (1)若离散型随机变量X的分布列为
①均值
01xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp为随机变量X的均值或□02数学期望，它反映称E(X)＝□1122iinn03平均水平． 了离散型随机变量取值的□
②方差
04[x－E(X)]2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)称D(X)＝□i?ii＝1n05平均偏离程度，其□06算术平方根DX的□
(2)均值与方差的性质 07aE(X)＋b. ①E(aX＋b)＝□
08a2D(X)．(a，b为常数) ②D(aX＋b)＝□
③两点分布与二项分布的均值、方差
为随机变量X的标准差．
2．正态分布 (1)正态曲线的性质
13上方，与x轴不相交； ①曲线位于x轴□14x＝μ对称； ②曲线是单峰的，它关于直线□15x＝μ处达到峰值1； ③曲线在□σ2π
1
161； ④曲线与x轴之间的面积为□
17μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑤当σ一定时，曲线随着□
18越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ□
19越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． 越集中；σ□
(2)正态分布的三个常用数据 200.6826； ①P(μ－σ 210.9544； ②P(μ－2σ 1．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态． 2．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位． 3．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的． 1．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( ) A．60.82元 B．68.02元 C．58.82元 D．60.28元 答案 A 235130 解析 E(ξ)＝100×＋(－10)×≈60.82，所以选A. 365365 2．(2019·海南海口模拟)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝( ) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 答案 B 解析 随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3.故选B. 2 3．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m，则ξ的数学期望E(ξ)＝( ) 16A．1 B．5 C．2 D. 7答案 B 解析 由x－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m，∴ξ12211 可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，，，，，∴ξ的数学期望E(ξ)＝ 7777712211 0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.故选B. 77777 4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝( ) A. 182124 B. C．4 D. 555 3 2 1 2 2 2 2 答案 B C31C3·C2解析 由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝3＝ C510C5 3C3·C2313321 ，P(X＝5)＝3＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝. 5C510105105 5．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击2 中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为________． 3 200 答案 20， 3 1 2 ?2?解析 记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B?3，?，Y＝10X，∴E(Y)?3? 221200 ＝10E(X)＝10×3×＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝. 3333 6．已知离散型随机变量X的分布列如下表. 若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________. 答案 51 124 3 ? 解析 由?DX＝1， ??∑Pi＝1 ?EX＝0， ??1 ??a＋c＋＝1， 3 1?a＋b＋c＋＝1?12 1 －a＋c＋＝0， 6 ??1??b＝， 41?c＝?4. a＝， 512 核心考向突破 考向一 离散型随机变量的均值与方差角度1 与古典概型有关的均值与方差 例1 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； (2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)． 解 (1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球， C4＋C3＋C26＋3＋15 所以P＝＝＝. 2 C93618 (2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”， C41 故P(X＝4)＝4＝； C9126 {X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”， C4C5＋C3C620＋613故P(X＝3)＝＝＝； 4 C912663 13111 于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝. 6312614所以随机变量X的概率分布如下表： 31 31 4 2 2 2 1113120 因此，随机变量X的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 14631269触类旁通 求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 4 即时训练 1.(2019·江西师大附中模拟)已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门． (1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； (2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望． 解 (1)3名学生选择的选修课所有不同选法有4＝64种；各人互不相同的选法有A4种，A43故互不相同的概率P＝3＝. 48 (2)选修课A被这3名学生选修的人数X的可能取值为0,1,2,3， 3933 P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝， 416416 2 3 3 3 P(X＝2)＝2＝，P(X＝3)＝2＝. 所以X的分布列为 3431614116 93313 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 161616164角度2 与二项分布有关的期望与方差 例2 张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两1 条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有 2 B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，. 3345 (1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解 (1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件， 5
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