再依次将X1、s1代入（III）、（V）和（IV）求得：
?X2?1044.07 ?
X?1090.66?0所以， 0岁大象的总头数为1091（头）；1—60岁的大象的存活率为98.9719%，总头数
为8865（头）；61岁—70岁的大象头数为1091（头）。
把0—70岁的大象分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。下面以1—10年龄段的大象头数计算为例：
前一年总共移出622头，其中1—10岁移出为67头；前两年总共移出876头，其中1—10岁移出169头。故1—10年龄段的大象头数可以这样计算：
67169?)/2]=1333（头） X11=8865 ?[(622 876其他的年龄段用同样的方法计算，得到如下表（附饼形图）： 表1（大象年龄结构） 年龄 头数 0 1091 1-10 1333 11-20 1777 21-30 1069 31-40 1255 41-50 1888 17 51-60 1544 14 61-70 1044 9 比例10 12 16 10 11 （%）
图1（大象年龄结构饼图）
3、结果分析
（1）由结果可以知道，2—60岁大象的存活率为98.9718%，这与题目给出的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理的；
（2）从图1可以看出，各个年龄段的大象所占的比例基本上是一样的，21—30岁和41—50岁的大象比例相对比较大，因为这段大象正处于年龄的黄金时期。由此，可以认为求出的大象年龄也是合理的。
估计每年注射避孕药的母象头数
为了估计每年注射避孕药的母象头数，首先建立一个按年龄分组的种群增长的差分
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方程模型；然后用Leslie矩阵稳定的充要条件分析如果不进行避孕注射种群的增长情况；最后仍然利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母象头数。 1、按年龄分组的种群增长的差分方程模型的建立
记时段k第i年龄组的大象数量为xi(k)，k=0，1，2，…，i=1，2，…n,第i年龄组的繁殖率为bi，即第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i年龄的存活率为si，我们这里假设bi和si不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。bi和si可由统计资料获得。xi(k)的变化规律由以下的基本事实得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之和，即 x1(k?1) ??bixik( )i?1n时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即 xi?1(k?1)?s?iixi(k),记时段k种群按年龄组的分布向量为
,1,?2,n?1x(k)?[x1(k),x2(k),?xn(k)]T
由繁殖率bi和存活率si构成的矩阵为
?b0b1?s?00?0s1??00?00??00L??......??......?00??00??00?00??00...b9...0...0...0...s9...0...0...0...0...0...0...0...0b100000s100000000b1100000s11000000..........................................b60...0...0...0...0...0...0...0...0...s60...0...0...0b61000000000s6100...b69...0...0...0...0...0...0...0...0...0...0...0...s69b70?0??0??0?0??0?0??0? 0??0??0?0??0?根据Leslie矩阵的性质可以得到如下的定理：
定理1：L矩阵有唯一的正特征根?1，且它是单重根的，?1对应正特征向量
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?sssss...s?x*??1,1,122,...,12n?1n?1?
?1???1?1L矩阵的其他n-1个特征根?k都是满足 ?k??1,k?2,3,...,n
T该定理表明L矩阵的特征方程
?n?(b1?n?1?b2s1?n?2?...?bn?1s1s2...sn?2??bns1s2...sn?1)?0
只有一个正根，并且易知，Lx*??1x*
2、如果不进行避孕注射种群的增长情况
（1）建立Leslie矩阵
首先，由第一问的求解知道，0岁的大象的存活率为0.75；1—60岁大象的存活率为0.989718；根据假设61—70岁大象头数是线性递减的，而且到70岁所有的大象都死完了，所以很容易求出存活率为（1-0.1）?p1=0.9?0.989718=0.8907；11—60岁大象的繁殖率为0.1448。
然后根据上面的矩阵L建立起如果不进行避孕注射种群的增长的Leslie矩阵如下所示：
0...00.14480.1448......0.14480...00??0?0.75?0...000......00...00???00.9897...000......00...00???00...000......00...00???00...0.989700......00...00???00...00.98970......00...00??......000.9897......00...00?这是一L71?71=?...??......000......00...00??...?00...000......00...00????00...000......0.98970...00???00...000......00.8907...00???00...000......00...00???00...000......00...0.89070??个71?71的矩阵。
（2）讨论L71?71的特征根，分析种群增长规律 用Matlab软件求得特征根为R=1.0481，根据定理1知道，如果不进行避孕注射，该大象种群将无限增长下去（如果环境允许），所以要进行避孕注射。 3、求出每年注射避孕药的母象头数
根据Leslie矩阵的性质知道，要保持种群稳定，必须使得特征根r=1，即使得下面式子成立：
b0?b1s0?b2s0s1?...?s0bn?1s1s2...sn?2?bns0s1s2...sn?1?1 （VI） 具体到本题来就是使得如下成立：
2 b0?s?1s0 (1+s+s7
+4.9.. +s)=1
解这个方程求出要保持大象种群的稳定，繁殖率应该为b0=0.0377
保持大象种群数量不变的繁殖率b0与没采取避孕时的繁殖率b有一定的差距，所以需要避孕掉具有（b- b0）繁殖率母象所生的幼象。假设每年要避孕n0头大象，由于一次注射可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以每年实际上共有2?n0头大象处于避孕期。
这样根据需要避孕掉具有（b- b0）繁殖率母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这个条件得到一个方程：
(1/2)?85%?X?(0.1448-0.0377)=2n?0.1448
10解之得n0=1393
所以每年注射避孕药的母象头数为：1393（头）
4、分析不确定因素的影响
（1）最初一两年避孕母象发情期增多，与未避孕母象产生竞争求偶的公象，使部分能怀孕的母象不能怀孕。而避孕的母象每月发情一次，会扰乱了正常求偶的母象，这样会造成未避孕母象的繁殖率出现下降，避孕的母象数量应该减少。
（2）随着时间的增长，如果持续使用避孕药，会使象的年龄结构发生变化，象的结构呈老龄化，所以随着时间的增长，要保证象群的稳定，避孕药的使用量必定会逐年减少直至禁用。
考虑转移大象时母象的避孕策略
被转移的大象只考虑处于1—60岁之间，转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少。下面首先通过计算机模拟来确定移出大象后所需要进行避孕的母象头数；然后用理论去验证计算机模拟的正确性。 1、通过计算机模拟确定需要进行避孕的母象头数
产生了n（可自己指定）个0~1的随机数。具体算法如下页图所示。
图2（计算机模拟流程图）
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