第20课 导数的综合应用
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1.(选修2-2P27习题15改编)如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，水波面的圆面积的膨胀率是 cm/s. 2
(第1题)
【答案】25 000π
【解析】设时间t对应的水波面的圆的半径为r，面积为S，则r=50t，S=πr=2 500πt，当
2
2
r=250时，t=5，故有s'=(2 500πt2)'=5 000π·t=25 000π(cm2/s).
2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为 . 【答案】4
256102422222
【解析】设高为h，底边长为x，则xh=256，所以S=4hx+x=4x·x+x=x+x，S'=-1024x2+2x.令S'=0，解得x=8，此时h=4，S取最小值.
13.(选修2-2P34习题4改编)设函数f(x)=3x-ln x(x>0)，则y=f(x)的最小值为 . 【答案】1-ln 3
11【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f'(x)=3-x=0，得x=3，所以f(x)在(0，3)上单
调递减，在(3，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(3)=1-ln 3.
1
4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v0的圆柱形饮料罐，为了使它的用料最省，则它的高为 . 34v0【答案】? v0222
【解析】设圆柱的高为H，底面半径为R，则表面积为S=2πRH+2πR，又πRH=v0，H=?R，
vv02v02v0302222
故S=2πR·?R+2πR=R+2πR，由S'=-R+4πR=0，解得R=2π，此时S最小，
v034v02H=πR=π.
5.(选修2-2P35例1改编)用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为 cm时，容器的容积最大. 【答案】10
【解析】设容器的高为x cm，即小正方形的边长为x cm，该容器的容积为V，则V=(90-2x)(48-2x)x=4(x-69x+1 080x)，0 3 2 2 V'>0；当10 时，V最大. 1.最值与不等式 各类不等式与函数最值的关系如下表： 不等式类型 任意的x∈D，f(x)>M 任意的x∈D，f(x) 任意的x∈D，f(x)>g(x) 任意的x∈D， [f(x)-g(x)]min>0 任意的x∈D， [f(x)-g(x)]max<0 任意的x∈D，f(x) 不等式类型 任意的x1∈D1，任意的x2∈D2，与最值的关系 任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)max f(x1)>g(x2) 任意的x1∈D1，存在x2∈D2，f(x1)>g(x2) 存在x1∈D1，任意的x2∈D2，任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)min f(x1)>g(x2) 存在x1∈D1，存在x2∈D2，任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)max f(x1)>g(x2) 2.实际应用题 任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)min (1)解题的一般步骤：理解题意，建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题. (2)注意事项：注意实际问题的定义域；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是最值点. 【要点导学】 要点导学 各个击破 利用导数研究函数的性质 3 12 例1 设函数f(x)=cln x+2x+bx(b，c∈R，c≠0)，且x=1为f(x)的极值点. (1)若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)； (2)若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围. 【思维引导】(1)条件：x=1为f(x)的极大值点；目标：确定函数f(x)的单调区间；方法：利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件：使用c表达的函数解析式；目标：c的取值范围；方法：讨论函数的单调性和极值点，根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件. x2?bx?ccx【解答】f'(x)=x+x+b=， 又因为f'(1)=0，所以b+c+1=0， (x-1)(x-c)x所以f'(x)=且c≠1，b+c+1=0. (1)因为x=1为f(x)的极大值点，所以c>1. 当0 所以f(x)的单调增区间为(0，1)，(c，+∞)；单调减区间为(1，c). (2)①若c<0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，要使f(x)=0恰有两解，如图(1)所示，只需f(1)<0， 11即2+b<0，所以-2 图(1) 图(2) 4 图(3) (例1) c1112 ②若0 c21③若c>1，则f(x)极小值=cln c-c-2<0，f(x)极大值=-2-c<0，如图(3)所示，所以f(x)=0只 有一解. 2?1?0??-，2?. 综上，使f(x)=0恰有两解的c的取值范围为?【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想，在定义域区间端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数，当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点，当其中一个极值点等于零时函数有两个零点，当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的，还要结合端点值和极值的情况进行综合比较. 变式 (2015·哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)=x+ax-ax+m+2(a>0). (1)若f(x)在[-1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围； (2)当a=2时，方程f(x)=0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围. 【思维引导】(1)若f(x)在[-1，1]内没有极值点，则f'(x)=0的根不在区间[-1，1]上；(2)方程f(x)=0有三个互不相同的解，则函数f(x)的极大值大于零、极小值小于零. 3 2 2 ?a?x-??22 【解答】(1)因为f'(x)=3x+2ax-a=3?3?(x+a)， a令f'(x)=0，得x=3或-a， 因为f(x)在[-1，1]内没有极值点，而且a>0， 5
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