2020版高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线教案理(含解析)新人教A版

§9.6 双曲线

最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 考情考向分析 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图形 范围 对称性 性质 顶点 渐近线 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x b

离心率 ce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线实虚轴 的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 概念方法微思考

c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？

提示 不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；

当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线． 2．方程Ax＋By＝1表示双曲线的充要条件是什么？

提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线．所以Ax＋By＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.

3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0

2

22

2

ca1＋??，故当a>b>0时，10时，e＝2

?b?2

?a?

(亦称等轴双曲线)，当02.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )

x2y2

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )

mnx2y2x2y2xy(3)双曲线方程2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±＝0.( √ )

mnmnmn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( √ )

x2y2x2y211

(5)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与2－2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则2＋2＝

abbae1e2

1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )

题组二 教材改编

x2y2

2．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心

ab率为( ) A.5B．5C.2D．2 答案 A

解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即

xaybbx±ay＝0，

∴2a＝

2

bc22222

＝b.又a＋b＝c，∴5a＝c. 22

a＋bc2

∴e＝2＝5，∴e＝5.

ax2y2x2y2

3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2的离心率

abab之积为

3

，则C2的渐近线方程为( ) 2

B.2x±y＝0 D．2x±y＝0

A．x±2y＝0 C．x±2y＝0 答案 A

a2－b2a2＋b2a2－b2a2＋b2

解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝aaaa3144

，即a＝4b，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±2y＝0. 224．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案

－＝1

1515

x2y2

x2y2

解析 设双曲线的方程为2－2＝±1(a>0)，

aa把点A(4,1)代入，得a＝15(舍负)， 故所求方程为－＝1.

1515题组三 易错自纠

2

x2y2

y2

5．(2016·全国Ⅰ)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，

m＋n3m－n则n的取值范围是( )

x2

A．(－1,3) B．(－1，3) C．(0,3) D．(0，3) 答案 A

y2

解析 ∵方程2－2＝1表示双曲线，

m＋n3m－n∴(m＋n)·(3m－n)>0，解得－m

由双曲线性质，知c＝(m＋n)＋(3m－n)＝4m(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1， ∴－1

2

2

2

2

2

2

2

2

x2

x2y2

6．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )

abA.

7545B.C.D. 3433

答案 D

b3b解析 由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，

aa即3b＝4a，∴9b＝16a，∴9c－9a＝16a， 522

∴25a＝9c，∴e＝.故选D.

3

1

7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________．

2答案

2

2

2

2

2

x2

4

－y＝1

2

2

1x2

解析 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y＝λ(λ≠0)，

244x2

已知该双曲线过点(4，3)，所以－(3)＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－

44

2

2

y2＝1.

题型一 双曲线的定义

2

2

例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x＋y＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆B．双曲线C．抛物线D． 圆 答案 B