高一 第8讲 不等式的证明和 三角不等式(1)

高一 8 三角不等式和不等式的证明

三角不等式：

|??+??|≤|??|+|??| |?????|≤|??|+|??|

?|?????|≤|??|?|??|≤|?????| ?|??+??|≤|??|?|??|≤|??+??|

不等式的证明

1. 掌握用比较法、基本不等式法、分析法和综合法证明不等式的基本思路；

三角不等式

1、 写出不等式|??+??|≤|??|+|??| 等号成立的充要条件是_____________一个充分非必要条件是

_____________；一个必要非充分条件是__________________;

2、 写出不等式|??|?|??|≤|?????| 等号成立的充要条件是_____________

3、 写出不等式|??|?|??|≤|?????| 等号成立的充要条件是_____________

4、 写出不等式|?????|≤|??|+|??|等号成立的充要条件是_____________

5、 函数??=|???13|+|???19|的最小值是______

6、 函数??=|???13|?|??+19|的最小值是______最大值是______

7、 若??和??是任意非零实数；则

|3??+2??|+|3???2??|

|??|

的最小值为______________.

8、 设??、 ??、 ??∈?? ,??>0 ,|?????|< ,|?????|< ，求证：|3x+2y?3a?2b|<ε。

6

4

????

9、 已知ε>0 ，则“|?????|

12、若|2???5|?|2???10|≥??对所有实数??都成立，则??的取值范围是____

13、若|2???5|?|2???10|≤??对所有实数??都成立，则??的取值范围是____

若|2???5|+|2???10|≥??对所有实数??都成立，则??的取值范围是____

若|2???5|+|2???10|

【1的代换】

例：已知??+????=??,??,??∈??+，求??=??+?? 的最小值；

??

??

1、 正数??,??,??满足??+??+??＝??，求证：(??－??)(??－??)(??－??)≥????????

2、 已知??、??、???R?，且a?b?c?1,求证：??1??1??1??1???1???1??8 a???b??c?

3、 正数??,??,??，求证：(??+??+????)(??+??+????)(??+??+????)≥??????????

【公式法】

4、 已知??、??、??、?? 为任意实数，求证：(???? +????)(????+????)≥(????+????)??

5、 已知??、??、??,?? 为正数，且??≠??,

??

+??=?? ，求证：??+??≥(√??+√?? )?? ??

??

6、 设a?5，则a?3?a?4 与a?4?a?5的大小关系是

7、 已知 ??>??，??=√??+???√??,??=√???√?????，判断大小 ??______??.

8、 已知??,??,??是实数，试比较????+????+????与 ????+????+???? 的大小．

9、 已知??、??、?? 为正数，求证：??(????+????+????)≥(??+??+??)??≥??(????+????+????)

10、设??、??∈?? ，比较????+????+??与??+??+????大小

11、已知??+??+??=1，求证x2?y2?z2?

2212、求证：a?b?ab?a?b?1.

1. 3

【分析法】

13、已知??、?? 为正数，求证：√(??+??)(??+??)≥??+√????.

14、已知??>??>?? 为正数，求证：

???????

+

???????

≥(

??

?????)

.