2020年沈阳农业大学513概率论与数理统计考研复试核心题库之证明题精编
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一、2020年沈阳农业大学513概率论与数理统计考研复试核心题库之证明题精编
1． 两种证券A，B的收益率为然也是风险证券;若
和
，人们常用收益率的方差来衡量证券的风险，收益率的方差为正的
，证明A与B的任意投资组合P(允许卖空)必
满足什么条件时，
证券称为风险证券。如果A，B均为风险证券，且
，何时能得到无风险组合？并构造相应的无风险组合;当
我们能在不允许卖空的情况下，得到比A，B的风险都小的投资组合？青岛掌?心博?阅电子书
【答案】若将一笔资金按比例x，1-x分别投资到证券A和B上，形成组合投资P,其收益率为，记
记投资组合的收益率，其方差
当x=1时，当
时，由于
； ，从而时，对任意x，有时，
当而当无风险投资。
在不卖空的条件下，有得由于要使
，则
解得如果如果综上得到
且
； ；
，
。这意味着
的最小值在
上达到。由
，得
时，要使
时，
，从上式解出
，要使
，可取
，此时为无风险投资。
，也得到
，由于
，从而有
综上得到，当若
，当
，即任意组合P都是有风险的。
，则上述条件等价于，则上述条件等价于
2． 设x与y独立，证明:对任意实数独立。
【答案】由于X与Y独立，故(X，Y)的分布函数
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，事件
，其中
与事件
分别为
X,Y的边缘分布函数，注意到
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因此事件与事件独立。
3． 设X?B(m，p)，Y?B(n，p)，且X与Y相互独立，
(1)证明:X+Y～B(m+n,p);(2)求【答案】(1)由X?B(m，p)，得
且随机变量X与Y相互独立，故(X，Y)的联合概率分布为
Z=X+Y的可能取值为r=0,1,2，…，m+n. 事件
，则
所以Z=X+Y?B(m+n，p). (2)
4． 若随机变量X与Y相互独立，且
【答案】由
，得
，得
Z=X+Y的可能取值为r=0,1，2,…， 事件则
所以
.
，
.证明：
；
.
.
，由Y～B(n,p)得
且随机变量X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率分布为
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5． 设X的密度函数为青岛掌?心博阅电子书
其中
为参数，证明
的密度函数为
9
服从这一密度函数的分布称为自由度为2的分布，即【答案】由于Y的分布函数为
故Y的密度函数为
6． 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布Z=X-Y
(1)求Z的概率密度。
(2)设【答案】(1)Z的密度为
，
独立。
(2)设似然函数
为来自总体Z的简单随机样本
令则
，
令则即
，
(3)证明为的无偏估计量青岛掌ъ心博阅电子书
，X，Y独立，
，已知Z=X-Y
。
与，其中是未知参数且，设
为来自总体Z的简单随机样本，求的最大似然估计量
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