DECF2m2?m，即， ??ABOC42解得m?1．
?1??3?1?，E?，1?， 同1方法．求得D??，22????∴DG?EG?GP3?1 得
1?1?P，0?． ∴OP，∴?FG?FE?EG?3?32?2?22结合图形可知，P，ED2?4， 3D?P3E?222∴ED2?P3D?P3E，
?1?0?也满足条件． ∴?DEP3是Rt?，∴P3?，2???1??1??，0，P(1，0)，P，0? 综上所述，满足条件的点P共有3个，即P1?3??2?2??2?
【例15】 如图，抛物线y?12B两点，与y轴交于C点，且A??1，0?． x?bx?2与x轴交于A，2（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；） （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC?MD的值最小时，求m的值．
yy1AO-1CD1BxC1AO-1CD1MEBx【考点】二次函数与三角形综合，轴对称与线段和差最值问题
【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略
【答案】（1）∵点A(?1，0)在抛物线y?
12x?bx?2上， 231∴?(?1)2?b?(?1)?2?0，b??．
22∴抛物线的解析式为y?123x?x?2． 2221311?3?25y?x2?x?2?(x2?3x?4)??x???，
2222?2?8325?． ∴顶点D的坐标为 ?，???8??2?2)，OC?2． （2）当x?0时，y??2，∴C(0，1-1二次函数与三角形综合 题库·教师版 Page 17 of 22
当y?0时，
123x?x?2?0，∴x1??1，x2?4，∴B(4，0)． 22∴OA?1，OB?4，AB?5．
∵AB2?25，AC2?OA2?OC2?5，BC2?OC2?OB2?20， ∴AC?BC?AB．∴?ABC是直角三角形。 （3）作出点C关于x轴的对称点C?，则C?(0，2)，OC??2． 连接C'D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC?MD的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
我也ED∥y轴，∴?OC?M??EDM，?C?OM??DEM．
OMOC?∴△C?OM∽△DEM．∴． ?EMED24∴m?2．∴m?．
41325?m28解法二：设直线C?D的解析式为y?kx?n，
222?n?241则?25，解得n??2，k??． ?312k?n???8?241∴y??x?2．
1224∴当y?0时，?41x?2?0，x?．
411224∴m?．
41
0)B(1，，0)C(0，?2)三点． 【例16】 如图，抛物线经过A(4，，（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为
顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
yyPDOCB1-24AxOCB1ME-24Ax
【考点】二次函数与三角形综合，坐标与面积 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2009年山东省中考 【解析】略
1-1二次函数与三角形综合
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?2)， 【答案】（1）?该抛物线过点C(0，∴可设该抛物线的解析式为y?ax2?bx?2．
0)，B(1，0)代入， 将A(4，1?a??，??16a?4b?2?0，?2 得?解得?5?a?b?2?0.?b?.??2125∴此抛物线的解析式为y??x?x?2．
22（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
125则P点的纵坐标为?m?m?2，
22当1?m?4时，
15AM?4?m，PM??m2?m?2．
22又∵?COA??PMA?90°，
AMAO2??时， ∴①当
PMOC1△APM∽△ACO，
?125?即4?m?2??m?m?2?．
2?2?，． 解得m1?2，m2?4（舍去），?P(21)AMOC1??时，△APM∽△CAO， ②当
PMOA2125即2(4?m)??m?m?2．
22解得m1?4，m2?5（均不合题意，舍去）
1)． ∴当1?m?4时，P(2，?2)． 类似地可求出当m?4时，P(5，?14)． 当m?1时，P(?3，1)或(5，?2)或(?3，?14)． 综上所述，符合条件的点P为(2，125（3）如图，设D点的横坐标为t(0?t?4)，则D点的纵坐标为?t?t?2．
22过D作y轴的平行线交AC于E．
1由题意可求得直线AC的解析式为y?x?2．
2?1?∴E点的坐标为?t，t?2?．
?2?12512?1?∴DE??t?t?2??t?2???t?2t．
222?2?1?12????t?2t??4??t2?4t??(t?2)2?4． 2?2?1)． ∴当t?2时，△DAC面积最大．∴D(2，∴S△DAC?
【例17】 如图，抛物线y??x?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求
1-1二次函数与三角形综合
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出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
yyCCPQBABABOxOxE
【考点】二次函数与三角形综合，轴对称与线段和差最值问题，坐标与面积 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2009年，重庆 【解析】略 【答案】（1）将A(1，0)，
B(?3，0)代y??x2?bx?c中得
???1?b?c＝0??9?3b?c?0 ∴??b??2?c?3 ∴抛物线解析式为：y??x2?2x?3
（2）存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物 线的对称轴x??1对称
∴直线BC与x??1的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵y??x2?2x?3 ∴C的坐标为：(0，3)
直线BC解析式为：y?x?3 Q点坐标即为??x??1y?x?3的解
?∴??x??1?y?2
∴Q(－1，2)
（3）答：存在。 理由如下： 设P点(x，?x2?2x?3) (?3?x?0) ∵S?BPC?S四边形BPCO?S9?BOC?S四边形BPCO?2 若S四边形BPCO有最大值，则S?BPC就最大， ∴S四边形BPCO＝SRt?BPE?S直角梯形PEOC
?12BE?PE?12OE(PE?OC) ＝12(x?3)(?x2?2x?3)?122(?x)(?x?2x?3?3) 1-1二次函数与三角形综合 题库·教师版 yCAOxPage 20 of 22
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