21．（本小题满分13分）
2f(x)?x?a(x?lnx)，x?0，a?R是常数． 已知函数
1 , f?1??（1）求函数y?f(x)的图象在点?处的切线方程；
（2）若函数y?f(x)图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围； （3）证明：?a?R，存在??(1 , e)，使
f'(?)?f(e)?f(1)e?1．
数学（理科）答案
CBDAC BDBBC
11[,)11、(2,??) 12、1 13、73 14、2 15、[15,??)
16、（本小题满分12分）
11a?a的取值范围是(0,]?[1,??) 若P为真，则0?a?1，若Q为真则，故
4417．（本小题满分12分） 解：（1）
?f(x)?cos(2x?4?4?4?)?2cos2x?(cos2xcos?sin2xsin)?(1?cos2x)333
13?cos2x?sin2x?1?cos(2x?)?1223
???xx?k??,k?Z??f(x)的最大值为2, x的集合为?6?
（2）由题意，
cos(2A?f(B?C)?cos[2(B?C)??3]?1?3?1cos(2??2A?)?.2，即32
?3化简得
)??1??5???A?.?2A??(?,)2A??3 2333，只有33，QA??0，??，
a2?b2?c2?2bccos?3在?ABC中，由余弦定理，
bc?(?(b?c)2?3bc
由b?c?2知
b?c2)?122，即a?1， 当b?c?1时，a取最小值
18．（本小题满分12分）
解：（1）y?f(x)图象与x轴异于原点的交点M(a,0)，f'(x)?2x?a
y?g(x?1)?ln(x?1)图象与x轴的交点N(2,0)，
g'(x?1)?1x?1
由题意可得
kl1?kl2， 即
2a?a?1?122f(x)?x?x,f(2)?2?2?2 ?a?12?1 ，∴，
（2）u?xlnx，当
x??1,e?1,e时，u'?lnx?1?0，∴u?xlnx在??单调递增，0?u?e,
u?1?2t2，抛物线开口向上
y?u2?(2t?1)u?t2?t图象的对称轴
t?由
11?2tu??00,e2有2，即函数在??上单调递增
22ymin?y|u?0?t2?t ymax?e??2t?1?e?t?t
综上：当
t?12222时，ymin?t?t；ymax?e??2t?1?e?t?t
1
19．解：(1)当E为AA1四等分点时，即A1E＝AA1时，EB∥平面A1CD.
4证明：以AB为x轴，以AD为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系， A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，1，0)，A1(0，0，4)，
→＝(－2，－1，4)，→
设E(0，0，z)，则→BE＝(－2，0，z)，CA1CD＝(－2，3， 0)．
→＋yCD→，∴(－2，0，z)＝x(－2，－1，4)＋y(－2，3，0)．∵EB∥平面A1CD，不妨设→BE＝xCA1
?－2＝－2x－2y，∴?0＝－x＋3y，解得z＝3. ?z＝4x.
所以当E点坐标为(0，0，3)即E为AA1且靠近A1的四等分点时，EB∥平面A1CD.(6分) (2)∵AA1⊥平面ABCD，
∴可设平面ABCD法向量为m＝(0，0，1)．
设平面BED法向量为n＝(x，y，1)，根据→BE＝(－2，0，3)，→BD＝(－2，4，0)， ??n·→BE＝－2x＋3＝0，33∴? 解得n＝(，，1)．
24→??n·BD＝－2x＋4y＝0，∴cos〈m，n〉＝
1×
1
33
（）2＋（）2＋1224
＝4
61. 61
由题意可得，平面BED与平面ABD所成角的余弦值为 20．（本小题满分13分）解：（1）据题意的
4
61.( 61
39(2x2?29x?107)(x?5)...(5?x?7)39?(2x3?39x2?252x?535)...(5?x?7)198?6xy?{(x?5)....................(7?x?8)?{6(33?x)..................................(7?x?8)x?5?50?10(x?8)?(x?5)...........(x?8) ?10x2?180x?650.......................(x?8)
32y?39?(2x?39x?252x?535) 5?x?7（2）由（1）得：当时，
y'?234(x2?13x?42)?234(x?6)(x?7)
'y5?x?6当时，?0，y?f(x)为增函数 'y6?x?7当时，?0,y?f(x)为减函数
?当x?6时，f(x)max?f(16)?195 [来源:Z§xx§k.Com] 当7?x?8时，
y?6(33?x)??150,156?
2y??10(x?9)?160 x?8当时，
当x?9时，ymax?160 综上知：当x?6时，总利润最大，最大值为195
21．（本小题满分14分）
1f/(x)?2x?a(1?)/f(1)?1?afx解：（1） ， (1)?2?2a
函数y?f(x)的图象在点(1 , f(1))处的切线为y?(1?a)?(2?2a)(x?1)，即y?(1?a)(2x?1)
22(x , x)在第一象限，依题意，f(x)?xa?0x?0（2）①时，，因为，所以点
f(x)?x2?a(x?lnx)?0
lnx?(?? , 0)，alnx?(?? , 0)，②a?0时，由对数函数性质知，x?(0 , 1)时，从而“?x?0，
f(x)?x2?a(x?lnx)?0”不成立
11111??(?2lnx)g(x)??(?2lnx)xxxx③a?0时，由f(x)?x?a(x?lnx)?0得a，设，
2g/(x)?x?12?3lnxx3x
x g/(x) g(x) (0 , 1) 1 (1 , ??) －[来0源:Zxxk.Com] ↘ 极小值 ? ↗ g(x)?g(1)??1，
111??(?2lnx)??1xx从而a，?1?a?0
综上所述，常数a的取值范围?1?a?0
f(e)?f(1)a?e?1?a?e?1e?1 （3）直接计算知
g(x)?f/(x)?f(e)?f(1)aa?2x?(e?1)??e?1xe?1
设函数
aae(e?1)2?aaa(e?2)?(e?1)2g(e)?e?1???g(1)?1?e?a??ee?1e(e?1) e?1e?1，
[a(e?2)?(e?1)2][a?e(e?1)2](e?1)2g(1)g(e)??a?22e(e?1)a?e(e?1)?0，[来e?2当或时，
源:Z+xx+k.Com]
因为y?g(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以存在??(1 , e)，使g(?)?0，即??(1 , e)，
使
f/(?)?f(e)?f(1)e?1；
(e?1)2?a?e(e?1)2当e?2时，g(1)、g(e)?0，而且g(1)、g(e)之中至少一个为正，由均值不等a?e2?1x?g(x)?22a?e?1，等号当且仅当式知，
a?(1 , e)2时成立，所以g(x)有最小值
a?e2?1?a?2(e?1)2a?(e2?1)m?22a??e?1e?1，且
?a?2(e?1)2a?(e2?1)?[a?2(e?1)]2?(e?1)(e?3)m???0e?1e?1，
此时存在??(1 , e)（
??(1 , aa)??( , e)2或2），使g(?)?0。
f/(?)?f(e)?f(1)e?1
综上所述，?a?R，存在??(1 , e)，使
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