3分块矩阵在计算方面的应用
3.1分块矩阵在求逆矩阵方面的应用
?AB?命题1 设P??其中B为r阶方阵, C为k阶方阵,当B与?是一个四分块方阵，CD??(C?DB?1A)都是可逆矩阵时，则P是可逆矩阵，并且
P?1??(C?DB?1A)?1DB?1???1?1?1?1?1?B?BA(C?DBA)DB?(C?DB?1A)?1 ?1?1?1??BA(C?DBA)??1特例 ?1? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?0C?1????1?.
0??B??C?1DB?1C?1???? ?10??B?0???1?B? ?1?1??BAC?C?1 ?2? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?1 ?3? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?1?X证明 设P可逆，且P?1???ZY?，其中Y为k阶方阵，Z为r阶的方阵.则应有?W?Y?W???AB??CD??E ???XP?1P???Z即
?XA?YC?ZA?WC?于是得到下面的等式
XB?YD??Ek???ZB?WD??00?， ?Er?(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)
?XA?YC?Ek??XB?YD?0??ZA?WC?0?ZB?WD?E?r因为B可逆，用B?1右乘?4.2?式可得
X?YDB?1
代入?4.1?式得
Y?(C?DB?1A)?1
6
则
X??(C?DB?1A)?1DB?1.
用B右乘?4.4?式可得
Z??Er?WD?B?1?B?1?WDB?1
代入?4.3?式得
W?B?1A(C?DB?1A)?1
则 可得
Z?B?1+B?1A(C?DB?1A)?1DB?1.
所以
P?1?X???ZY?W????(C?DB?1A)?1DB?1??1?1?1?1?1?B?BA(C?DBA)DB?(C?DB?1A)?1?.
?B?1A(C?DB?1A)?1??AB?命题2 设Q??是一个四分块方阵，其中A为r阶方阵，D为k阶方阵，当A??CD?与（D?CA?1B）都是可逆矩阵时，则Q是可逆矩阵,并且
AB??1?Q=???CD??1?A?1?A?1B(D?CA?1B)?1CA?1???(D?CA?1B)?1CA?1??1?A?1B(D?CA?1B)?1??
(D?CA?1B)?1??A?1特例 （1） 当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???0?A?1 （2） 当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???0?1?10? ?1?D??A?1BD?1?? ?1D?0?. ?1?D??A?1 （3） 当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???1?1??DCA此结论参考命题1.
7?410??3??2?590?1???0?100?，求M?1. 例1 设M??0??00040???000?6??0??00?7??410?3???00?C??解 令A??，，，D?B???????2?5??90?1???00??7
??100??040???. ??00?6??
则很容易求得
7??5?1A??，D?1????2?3?且
0???10?01/4? 0???0?1/6??0?7??5?A?1BD?1?-????2?3?由命题2可得，
??410??90?1?????100??040???43?5/4?7/6? ????191/21/2?????00?6??M?1?A?1???O743?5/4?7/6??5??2?3?191/2?1/2??A?1BD?1??0?100? ???0?1D???0001/40???000?1/6??0?0002300004130002?5??0?的逆矩阵. ?0?0???00??00?. ????00???0?0?例2 求矩阵M??4??0??0?400??12??000??，?020?解 设A??，，C??B?????D35000??????034??则
B?100??1/4??52??0? ?11/20C???，????3?1???0?3/81/4??由命题一可得：
01/400??0?0?001/20?C?1??00?3/81/4?. ???0O????52000???00??3?10??OM?1???1?B本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块A、B、C、D，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别
A、B、C、D中那些可逆那些不可逆,再具体运用.
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3.2分块矩阵在行列式计算式方面的应用
在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.
引理 设矩阵
?A1?OH??????OA????或H?????As??A2?O?A1??????AO?O?? ?????As??A2O其中A1,A2,?,As均为方阵，则
H?A1A2?As.
3.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 命题 1 A、B分别为m与n阶方阵. 证明 : (1)当A可逆时 ,有
ADC
(2)当B可逆时 ,有
B
?AB?CA?1D ?4.5?
ADC
证明 根据分块矩阵的乘法 ,有
B
=A?DB?1CB ?4.6?
?E??CA?1?0??AD??AD???CB??0B?CA?1D? E??????由引理知，两边取行列式即得?4.5?.
?2? 根据分块矩阵的乘法 ,有
?E?DB?1???0E???AD??A?DB?1C?CB???C???0?? B?两边取行列式即得?4.6?.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵A或B可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.
推论1 设A,B,C,D分别是m,n,n?m和m?n矩阵. 证明
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