2018年全国初中数学竞赛试题及答案

2018年全国初中数学竞赛试题及答案

考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30

一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）

??x?y?121．方程组?的实数解的个数为（ ）

??x?y?6（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解：选（A）。当x≥0时，则有y－|y|=6,无解；当x<0时，则y＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A）14 （B）16 （C）18 （D）20

解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程ax?bx?c?0，

2a2b2c2??的值为（ ） bx?cx?a?0，cx?ax?b?0恰有一个公共实数根，则

bccaab22（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

c?0，bt?ct?a?0，ct?at?b?0 解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t，则at?bt?2333三式相加得：(a?b?c)(t?t?1)?0，因为t?t?1?0，所以有a+b+c=0,从而有a?b?c?3abc，

2222A所以

abca?b?c3abc??＝＝?3 bccaababcabcKmDOFHnCLE2223334．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相 交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经 过△ABC的（ ）

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

B解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F，由题意知：⊙O与⊙F是等圆， 且弧DmE＝弧DnE，所以∠EAB＝∠ABE，∠DAC＝∠ACD，

即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E，F作AB，AC边上的垂线， 相交于点H，则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD＝∠ACD，

所以∠DHE+∠ACD＝∠DHE+∠KHD＝180°，即点H，D，C，E在同一个圆上， 也即点H在⊙O上，因而⊙O经过△ABC的外心。

5．方程x?6x?5x?y?y?2的整数解(x，y)的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多

323解：选（A）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

１

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，点A，C都在函数y?33(x?0)的图像上，点B，D都在x轴上， x第6题图且使得△OAB， △BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ． 解：填D(26,0)。设OB＝2a，BD＝2b，由△OAB，△BCD都是等边三角形，得

A(a,3a),C(2a?b,3b)，把点A，C坐标代入y?即D(2a?2b,0)?D(26,0)

33，解得：a?3,b?6?3， x7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值

P是 ． 解：填4。

CQOA连结OP，OB，则所求面积之差的绝对值＝2S?OPQ?2S?OBQ?2S?OPB＝2×2×2÷2＝4。 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =n·90?，则n? ． 解：填6。如图：∠A+∠E+∠F＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D ＝540°＝6?90?

9．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y?x?(a?3)x?3 D2BAB第7题图CαGβEF第8题图的图像与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是 ． 解：填?1?a??,或a?3?23 12a?3??2?1??（1）若图像的顶点在AB上，则有?解得：a?3?23 2???(a?3)2?12?0,?（2）若图像的顶点在x轴下方，则有??f(1)?1?a?3?3?0?f(1)?1?a?3?3?0或?

?f(2)?4?2(a?3)?3?0,?f(2)?4?2(a?3)?3?0,12分别解之，得?1?a??, 综上，得：?1?a??,或a?3?23 310．已知对于任意正整数n，都有a1?a2???an?n，则

12111????? ． a2?1a3?1a100?1解：填

333333。由a1?a2???an?n及a1?a2???an?1?(n?1)得an?n?(n?1)?3n(n?1)?1 1001001110011113311111??(?)?(1?)???(?)，于是?所以 3n?2n?1n3100100an?13n(n?1)3n?1nn?2an?1 ２

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分） 11．已知抛物线C1：y??x?3x?4和抛物线C2：y?x?3x?4相交于Ａ，Ｂ两点．点P在抛物线22C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间． （1）求线段AB的长； （2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值． 2??x??2?x?2?y??x?3x?4解：（1）由?解得? 或?2??y?6,?y??6,?y?x?3x?48Ay6C14f?x? = ?-x2-3?x?+42Pg?x? = x2-3?x-4不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6） -5OC2-25x所以AB?(?2?2)2?(?6?6)2?410 （2）设P（a,b），则-2≤a≤2，yp?b??a2?3a?4， 因为PQ∥y轴，所以点Q的横坐标为a，则yQ?a2?3a?4 所以PQ＝yp?yQ?(?a?3a?4)?(a?3a?4)＝?2a?8 222-4Q-6B-8即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，PQ的最大值为8。 -10112．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x?abx?(a?b)?0是否有两个整数解？如果有，请22-12把它们求出来；如果没有，请给出证明． 解：假设方程x?abx?21(a?b)?0有两个整数解为x1,x2， 2由x1?x2?ab?0,x1x2?12(a?b)?0 知x1?0,x2?0， 下证（1）x1?x2

22事实上，若x1?x2，则??(ab)?2(a?b)?0，(ab)?2(a?b)，

即ab?2(a?b)ab11?2(a?b)?2(1?1)?4，因a，b为正整数,所以ab＝1，2，3或4，

易知不存在a，b的值满足(ab)?2(a?b) （2）不妨设x1?x2 则

22x1x2a?b11????2，即x1x2?x1?x2?2x2，

x1?x2abab所以有x1?2，因x1是正整数，故x1?1

把x1?1代入原方程得，1?ab?12(a?b)?0 即2ab?(a?b)?2?0，也即4ab?2(a?b)?1?5 所以(2a?1)(2b?1)?5，因a,b都是正整数， 则??2a?1?1?2a?1?5?a?1?a?3 解得： 或?或???2b?1?5,?2b?1?1,?b?3,?b?1,３

由x1?x2?ab得x2?1?3?1?2

综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得 方程x?abx?21(a?b)?0有两个整数解为x1?1,x2?2。 2DEAD．若CD，FE的?CFBC13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足

延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD． 求证： （1）

ADPD； ?BCPCPG（2）△PAB∽△PDC． 证明：（1）连结PG，PE，PF，

四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆

???PGE??PDE?180??????PDE??PCF?????PCE??PGF??PCF?180????PED??PGD??PFC??PDDE??ADPD?PCCF? ???ADDE?BCPC?BCCF???PCF AEDBCF?PDE??PCF??PD?A??PCB?PADADPD???（2） ??BCPC??PBC?

??APD??BPC??APB??DPC???PAPB?PAPD???PAB?PDC

?????PDPC?PBPC?14．（1）是否存在正整数m，n，使得m(m?2)?n(n?1)？

（2）设k(k?3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m(m?k)?n(n?1)？ 解：（1）由m(m?2)?n(n?1)得：(m?1)?n?n?1

2又因为当n为正整数时，n?n?n?1?(n?1)，所以n?n?1不是完全平方数，即m+1不是正整

22222数，故不存在正整数m，n，使得m(m?2)?n(n?1)

(2)当k=3时，由m(m?3)?n(n?1)得：m?3m?n(n?1)?0，

若关于m的方程有正整数解，则??9?4n(n?1)?8?(2n?1)?l（l为正整数）， 即l?(2n?1)?8,[l?(2n?1)][(l?(2n?1)]?8

４

22222?l?(2n?1)?8?l?(2n?1)?4所以?， ,或?l?(2n?1)?1l?(2n?1)?2??m，n，使得m(m?k)?n(n?1)。 解得：n?54,0 所以不存在正整数

当k?3时，①若k?2t(t?2的正整数)，代入m(m?k)?n(n?1)。整理得m?2tm?n(n?1)?0 设??4t?4n(n?1)?(4t?1)?(2n?1)?l（l为正整数）

22222，l?(2n?1)][(l?(2n?1)]?（4t?1)?1 即l?(2n?1)?4t?1[2??l?(2n?1)?4t2?1?2t?l?2t?2t2?l?2t2m???t?t 令?，解得?，此时222l?(2n?1)?1???n?t?12222②若k?2t?1(t?2的正整数)，代入m(m?k)?n(n?1)。整理得m?(2t?1)m?n(n?1)?0 设??(2t?1)?4n(n?1)?4t(t?1)?(2n?1)?l（l为正整数）

2222[l?(2n?1)][(l?(2n?1)]?2t(t?1)?2 即l?(2n?1)?4t(t?1)，22?l?t2?t?1?l?(2n?1)?2t(t?1)?令?，解得?t(t?1)，

?1?l?(2n?1)?2?n??2?(2t?1)?l?(2t?1)?t2?t?1t2?t??此时m? 并且m，n的值都是正整数。

222综上，当k?3时，不存在正整数m，n，使得m(m?k)?n(n?1)；

2??m?t?t当k?2t(t?2的正整数)时，存在正整数?，使得m(m?k)?n(n?1)； 2??n?t?1?t2?tm???2当k?2t?1(t?2的正整数)时，存在正整数?，使得m(m?k)?n(n?1)。

2?n?t?t?1??2

５