陈雨涵《多元函数极值解法探究》毕业论文(定稿)

陈雨涵毕业论文多元函数极值解法的研究

摘 要：科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初

等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦，有时根本无法解决。鉴于此，本文从一下几方面作了介绍：二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法；条件极值的求解方法及应用；n元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍，旨在为以后的学习和实际工作带给一定的方便。

关键词：多元函数；极值；充要条件 ；方向导数；偏导数；矩阵；驻点；

Abstract：There exist a great many problems of extreme value to solve in scientific

production activity, some of them, can be worked out using elementary methods,while other problems either can be solved with great difficulty, or can not be solved. In view of this ,this paper were presented to several aspects: the definition and existence conditions of the extreme value of the dual function, the one order partial derivatives criterion of the extreme value of the dual function, the solution to extreme value problem With conditions and its application, the definition of the extreme values of function with n variables and its existence conditions, n-varible function repeat extreme,the solution to a kind of extreme value problem of multi-function, using vector through the introductions of above methods,it is designed to bring some convenience to our study and work.

Key words: multi-varible function; extreme;Necessary and sufficient condition

Directional derivative; first partial derivative; Matrix; critical point;

1 绪论

1.1研究多元函数极值的意义

科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方 法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值.

函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数 本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像不等式法，导数法，从矩阵的角度解决函数极值，利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用，与诸多数学家在这方面的努力是分不开的，他们给出了许多好的解决函数极值的方法，且将诸理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在经济，管理，金融，科研等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。

多元函数涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难，所以在本文中也介绍了利用向量方法求解一类多元函数极值的方法。所起到的效果还是很理想的。但是该方法所使用的范围比较的窄，只适合于某类

函数极值的求解，所以具有很大的局限性，但是作为一种求多元函数极值的方法，我们很有必要关注它。同时我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件，那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。就以上问题，在本文中给出了几种求条件极值方法。旨在能为求条件极值提供一些可寻的方法。因为在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有帮助的。

不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到，其证明具有很强的技巧性, 方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。

由上述，我们对多元函数极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要 的。

1.2回顾一元函数极值

我们先来讨论函数的极值，且总假定在上是连续的。若对于一点

，存在的某一邻域（，使对于此邻域中的任意点，都有，则称在有一极大值，称为极大值点，同样我们可以定义函数的极小值。若在上述的中等号不成立，我们就称为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。

定理1（极值的必要条件） 若是的极值，那么只可能是的零点或的不可导点。 定理2(极值判别法之一) 设在和（可导，那么

⑴若在内，而在内，则为极小值点。 ⑵若在内，而在内，则为极大值点。 定理3（极值判别法之二） 设，

⑴若，则是极大值。 ⑵若，则是极小值。