北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学试题 (含答案)

对于B中，例如??所以cos??cos???6,???6，此时cos?6?cos?6?3?2，

2不一定成立，所以不正确；

对于C中，因为?????2，例如??5??5??16?2,??时，sin ?sin???1，61261224所以sin??sin??1不正确； 对于D中，因为?????2，例如??2??2??13,??时，cos?cos????1， 363622所以cos??cos??1不正确， 故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与?所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于?的上方和下方，并且与圆柱面和?均相切.给出下列三个结论：

①两个球与?的切点是所得椭圆的两个焦点；

②若球心距O1O2?4，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与?所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① 【答案】C

5

B. ②③ C. ①② D. ①②③

【解析】 【分析】

设圆柱的底面半径为R，根据题意分别求得b?R，a?的结合性质，即可求解.

【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，

设圆柱的底面半径为R，根据题意可得椭圆的短轴长为2b?2R，即b?R，

RR，OC?，结合椭圆sin?tan?2RR，即a?， sin?sin?OCOCR在直角?O1OC中，可得1?tan?，即OC?1?，

OCtan?tan?长轴长为2a?R21?R222??R?R?1?又由OC?b?， ??222tan?tan?sin???22即OC?b2?a2，所以OC?a2?b2，

又因为椭圆中c2?a2?b2，所以OC?c，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的； 由O1O2?4，可得O1O?2，又由球的半径为3，即R?3， 在直角?O1OC中，OC?OO1?R2?22?(3)2?1，

由①可知，即c?1，所以2c?2，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；

2222Rctan?sin?RR??cos?， 由①可得a?，c?，所以椭圆的离心率为e??Ratan?sin?tan?sin?所以当当圆柱的轴与?所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档

6

试题.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

x2x2y229.若双曲线?y?1与??1有相同的焦点，则实数m?_________.

m32【答案】4 【解析】 【分析】

结合双曲线的几何性质，得到m?1?3?2，即可求解，得到答案.

x2x2y22【详解】由题意，双曲线?y?1与??1有相同的焦点，

m32可得m?1?3?2，解得m?4. 故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.

10.已知?an?是各项均为正的等比数列，Sn为其前n项和，若a1?6，a2?2a3?6，则公比q?________，S4?_________. 【答案】 (1). 【解析】 【分析】

根据等比数列的通项公式，得到2q?q?1?0，求得q?求得S4，得到答案.

【详解】由题意，在数列?an?是各项均为正的等比数列，

22因为a1?6，a2?2a3?6，可得a1q?2a1q?6q?12q?6，

145 (2). 2421再由等比数列的前n项和公式，2即2q?q?1?0，解得q?21或q??1（舍去）， 27

16?[1?()4]2?45. 又由等比数列的前n项和公式，可得S4?141?2145故答案为：，.

24【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2211.能说明“直线x?y?m?0与圆x?y?4x?2y?0有两个不同的交点”是真命题的

一个m的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】

根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到的取值范围，即可求解.

22【详解】由题意，圆x?y?4x?2y?0的圆心坐标为(?2,1)，半径为r?22若直线x?y?m?0与圆x?y?4x?2y?0有两个不同的交点，

?3?m1?(?1)22?5，求得m5，

则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即?3?m1?(?1)22?5，解得3?10?m?3?10，

所以命题为真命题的一个m的值为0. 故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

uuuruuuruuuruuuruuuruuur12.在平行四边形ABCD中，已知AB?AC?AC?AD，|AC|?4，|BD|?2，则四边形

ABCD的面积是_______.

【答案】4 【解析】

8