对于B中,例如??所以cos??cos???6,???6,此时cos?6?cos?6?3?2,
2不一定成立,所以不正确;
对于C中,因为?????2,例如??5??5??16?2,??时,sin ?sin???1,61261224所以sin??sin??1不正确; 对于D中,因为?????2,例如??2??2??13,??时,cos?cos????1, 363622所以cos??cos??1不正确, 故选:A.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用,以及三角函数值的应用,其中解答熟记三角恒等变换的公式,以及合理利用赋值法求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
8.用平面截圆柱面,当圆柱的轴与?所成角为锐角时,圆柱面的截面是一个椭圆,著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小相同的球嵌入圆柱内,使它们分别位于?的上方和下方,并且与圆柱面和?均相切.给出下列三个结论:
①两个球与?的切点是所得椭圆的两个焦点;
②若球心距O1O2?4,球的半径为3,则所得椭圆的焦距为2; ③当圆柱的轴与?所成的角由小变大时,所得椭圆的离心率也由小变大. 其中,所有正确结论的序号是( ) A. ① 【答案】C
5
B. ②③ C. ①② D. ①②③
【解析】 【分析】
设圆柱的底面半径为R,根据题意分别求得b?R,a?的结合性质,即可求解.
【详解】由题意,作出圆柱的轴截面,如图所示,
设圆柱的底面半径为R,根据题意可得椭圆的短轴长为2b?2R,即b?R,
RR,OC?,结合椭圆sin?tan?2RR,即a?, sin?sin?OCOCR在直角?O1OC中,可得1?tan?,即OC?1?,
OCtan?tan?长轴长为2a?R21?R222??R?R?1?又由OC?b?, ??222tan?tan?sin???22即OC?b2?a2,所以OC?a2?b2,
又因为椭圆中c2?a2?b2,所以OC?c,即切点为椭圆的两个交点,所以①是正确的; 由O1O2?4,可得O1O?2,又由球的半径为3,即R?3, 在直角?O1OC中,OC?OO1?R2?22?(3)2?1,
由①可知,即c?1,所以2c?2,即椭圆的焦距为2,所以②是正确的;
2222Rctan?sin?RR??cos?, 由①可得a?,c?,所以椭圆的离心率为e??Ratan?sin?tan?sin?所以当当圆柱的轴与?所成的角由小变大时,所得椭圆的离心率变小,所以③不正确.
故选:C 【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用,其中解答中认真审题,合理利用圆柱的结构特征,以及椭圆的几何性质求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档
6
试题.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
x2x2y229.若双曲线?y?1与??1有相同的焦点,则实数m?_________.
m32【答案】4 【解析】 【分析】
结合双曲线的几何性质,得到m?1?3?2,即可求解,得到答案.
x2x2y22【详解】由题意,双曲线?y?1与??1有相同的焦点,
m32可得m?1?3?2,解得m?4. 故答案为:4.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用,其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.
10.已知?an?是各项均为正的等比数列,Sn为其前n项和,若a1?6,a2?2a3?6,则公比q?________,S4?_________. 【答案】 (1). 【解析】 【分析】
根据等比数列的通项公式,得到2q?q?1?0,求得q?求得S4,得到答案.
【详解】由题意,在数列?an?是各项均为正的等比数列,
22因为a1?6,a2?2a3?6,可得a1q?2a1q?6q?12q?6,
145 (2). 2421再由等比数列的前n项和公式,2即2q?q?1?0,解得q?21或q??1(舍去), 27
16?[1?()4]2?45. 又由等比数列的前n项和公式,可得S4?141?2145故答案为:,.
24【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式,以及等比数列前n项和公式的应用,其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n项和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
2211.能说明“直线x?y?m?0与圆x?y?4x?2y?0有两个不同的交点”是真命题的
一个m的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】
根据直线与圆相交,利用圆心到直线的距离小于圆的半径,得到的取值范围,即可求解.
22【详解】由题意,圆x?y?4x?2y?0的圆心坐标为(?2,1),半径为r?22若直线x?y?m?0与圆x?y?4x?2y?0有两个不同的交点,
?3?m1?(?1)22?5,求得m5,
则满足圆心到直线的距离小于圆的半径,即?3?m1?(?1)22?5,解得3?10?m?3?10,
所以命题为真命题的一个m的值为0. 故答案为:0.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中熟记直线与圆的位置关系,列出不等式求得m的取值范围是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur12.在平行四边形ABCD中,已知AB?AC?AC?AD,|AC|?4,|BD|?2,则四边形
ABCD的面积是_______.
【答案】4 【解析】
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