1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
303.7 365.7 516.8 696.1 831.6 791.1 1009.8 1327.5 1622.8 2423.4 3313.8 4493.4 6073.7 8255.9 11236.6 15176 18941.5 22902.7 258.6 304.8 429.8 578.6 682.8 587.8 733.5 947.1 1054.1 1608 2206.5 2975 4041 5488.9 7391.4 9931 12526.1 15365.3 0.85 0.83 0.83 0.83 0.82 0.74 0.73 0.71 0.65 0.66 0.67 0.66 0.67 0.66 0.66 0.65 0.66 0.67 （2）现将1989-2010年的养老金累计结余金额随时间（年代）的数据转换成图表形式如下：
图2-1-1
9
如果把年代（将1989年作为X=0，往后以此类推）作为横坐标，把历年养老金额作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图2-1-1，这个图称为散点图。
从图2-1-1可以看出，从时间为X=12开始（即1991年）数据点基本落在一条直线附近。这告诉我们，从1991年往后变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。其它因素，诸如其它人口迁徙、疾病灾荒、经济危机等都会影响养老金Y的结果。如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合
（2-1-1）
我们称（2-1-1）式为回归方程，a与b是待定常数，称为回归系数。从理论上讲，（2-1-1）式有无穷多组解，回归分析的任务是求出其最佳的线性拟合。 二、最小二乘法原理 如果把用回归方程
计算得到的
i值(i=1,2,?n)称为回归值，
那么实际测量值yi与回归值 i之间存在着偏差，我们把这种偏差称为残差，记为ei(i=1,2,3,?,n)。这样，我们就可以用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。残差平方和定义为:
(2-1-2)
所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线
是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。由
(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。下面讨论的a和b的求法。
三、正规方程组
根据微分中求极值的方法可知，Q(a,b)取得最小值应满足
(2-1-3)
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由(2-1-2)式，并考虑上述条件，则
(2-1-4)
(2-1-4)式称为正规方程组。解这一方程组可得
(2-1-5)
其中
(2-1-6)
式中，Lxy称为xy的协方差之和，Lxx称为x的平方差之和。 如果改写(2-1-1)式，可得
(2-1-7)
或
(2-1-8)
现在我们来建立关于例1的回归关系式。将表2-1-1的结果代入(2-1-5)式至(2-1-6)式，得出 a=-32857.14286
b=2142.857143
因此，在未来40年内的养老金金额与时间的关系的回归关系式为
y=-32857.14286+2142.857143x
说明：因其线性回归性质的满足范围为1991年以后，所以式中的X为从1991年开始的，即将年代减去1991即可得到（X=当时年代-1991）带入公式即可算出当年的养老金额。或者为了简便计算也可化简为 y=-32857.14286+2142.857143(x-1991)
现根据上面的预测公式将2015-2055年的养老金规模做尝试预测，预测结果如下表：
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2015-2055年养老金规模预测表
年代 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032
3.根据前面两项预测的养老人员比例与养老金规模，可将全部养老金额用于老年人的养老问题上，期间受经济通货膨胀率的影响，现绘出历年通过膨胀率表格如下： 1995年
1996年
1997年
1998年
1999年
金额（亿元） 12142.86 14285.71 16428.57 18571.43 20714.29 22857.14 25000 27142.86 29285.71 31428.57 33571.43 35714.29 37857.14 40000 42142.86 44285.71 46428.57 48571.43 50714.29 52857.14 55000
年代 2033 2034 2035 2036 2037 2038 2039 2040 2041 2042 2043 2044 2045 2046 2047 2048 2049 2050 2051 2052
金额（亿元） 57142.86 59285.71 61428.57 63571.43 65714.29 67857.14 70000 72142.86 74285.71 76428.57 78571.43 80714.29 82857.14 85000 87142.86 89285.71 91428.57 93571.43 95714.29 97857.14
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