基本不等式单元测试
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 a2＋b2
1．“a＞b＞0”是“ab＜”的( )
2
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0， a2＋b2
故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.
22x
2．当x＞0时，f(x)＝2的最大值为( )
x＋1
1A. 2C．2
B.1 D．4
2x22
解析：选B ∵x＞0，∴f(x)＝2＝≤＝1，
12x＋1
x＋x1
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
x
11193．(2018·杭州二中月考)若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为( )
a－1b－1
A．1 C．9
B.6 D．16
11
解析：选B ∵正数a，b满足a＋b＝1， a
∴b＝＞0，解得a＞1，同理b＞1，
a－1∴
19191＋＝＋a＝＋9(a－1)≥2a－1b－1a－1a－1
－1a－1
1·9?a－1?＝6， a－1
14
当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，
3a－1∴
19
＋的最小值为6.故选B. a－1b－1
4．(2018·宁波模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
x＋2y?2
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log2??2?－1＝2－1＝1， 当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，
所以log2x＋log2y的最大值为1. 答案：1
5．(2018·绍兴高三质量检测)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．
解析：∵正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，∴y＝
42－2x
>0，解得0 42－2x 则xy＋5x＋4y＝xy＋2x＋3y＋3x＋y＝3x＋y＋42＝3x＋＋42 x＋316 ＝3??x＋3?＋x＋3?＋31≥3×2 ?? 16 ?x＋3?×＋31＝55， x＋3 16 当且仅当x＋3＝，x＝1，y＝10时取等号． x＋3∴xy＋5x＋4y的最小值为55. 答案：55 二保高考，全练题型做到高考达标 1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a2＋b2＞2ab 112C.a＋b＞ ab B.a＋b≥2ab baD．a＋b≥2 ba ·＝2，当且仅当a＝b时等号ab ba 解析：选D ∵ab＞0，∴a，b是同号，∴＋≥2 ab成立．故选D. 11 2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( ) ab A．3 C．5 B.4 D．6 11 解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a， ab∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号． 3．(2018·义乌六校统测)a，b∈R，且2a＋3b＝2，则4a＋8b的最小值是( ) A．26 C．22 解析：选D 4a＋8b＝22a＋23b≥222a∴最小值为4. B.42 D．4 ＋3b11 ＝4，当且仅当a＝，b＝时取等号， 23 4．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A. 3 3 cm2 2 B. 4 cm2 D．23 cm2 C．32 cm2 解析：选D 设两段长分别为x cm，(12－x)cm， 2 3?x?23?12－x?2323?x＋12－x?2 则S＝?3?＋＝[x＋?12－x?]≥×＝23， 44?3?36362 当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号． 故两个正三角形面积之和的最小值为23 cm2. 15．若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则ab＋的最小值为( ) ab A．2 17C. 4 B.4 D．22 1 0，?，则不能使用基本不等式求最值， 解析：选C ∵a＋b＝1≥2ab，∴ab∈??4?11 根据函数的单调性，当ab＝时，ab＋ab取到最小值， 417 ∴最小值为.选C. 4 a1 6．(2018·温州模拟)“a＝”是“对任意的正数x，均有x＋≥1”的____________条件． x4 a11 解析：当a＝时，对任意的正数x，x＋＝x＋≥2 x44xa 当“对任意的正数x，都有x＋x≥1”，显然a＞0， a 则只要x＋≥2 x a1x·＝2a≥1，∴a≥， x4 1x·＝1. 4x a1 ∴“a＝”是“对任意的正数x，均有x＋x≥1”的充分不必要条件． 4答案：充分不必要 ?xy＋2z＝1，? 7．(2018·金华十校联考)已知实数x，y， 满足?222则xy 的最小值为________． ??x＋y＋z＝5， 解析：由xy＋2 ＝1，得 ＝ 2 2 1－xy， 2 2 ?1－xy?1－xy?2 所以5＝x＋y＋?≥2|xy|＋， 4?2? ???xy≥0，?xy<0， 即?22或?22 ??xy＋6xy－19≤0xy－10xy－19≤0，?? 解得0≤xy≤－3＋27或5－211≤xy<0， 1－xy111 xy－?2＋. 所以xy ＝xy·＝－?2?822? 综上，知当xy＝5－211时，xy 取得最小值911－32. 答案：911－32 12 8．如图，动点A在函数y＝(x<0)的图象上，动点B在函数y＝(x>0)的图象上，过点A， xxB分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，若|A1B1|＝4，则|A2B2|的最小值为________． 12 a，a?，B?b，b?，a<0，b>0，因为|A1B1|＝4，所以b－a＝4， 解析：设A?????－2ab?1211?2＋1?＝1?3＋＋?≥(3＋22)，当且仅当b2＝故|A2B2|＝b－a＝[b＋?－a?]·?bb4－a?4?－a?4?2a2，即a＝4－42，b＝8－42时，|A2B2|取得最小值 答案： 3＋22 4 3＋22 . 4 38 9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值； 22x－3 (2)已知a>b>0，求a2＋ 16 的最小值． b?a－b? 183 解：(1)y＝(2x－3)＋＋ 22x－323－2x8?3?＝－?2＋?＋. 3－2x?2?3 当x<时，有3－2x>0， 2∴ 3－2x8 ＋≥2 23－2x 3－2x8 ·＝4， 23－2x 3－2x81 当且仅当＝，即x＝－时取等号． 223－2x355 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. 222
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