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课时规范练55 排列与组合
一、选择题
1.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( ) A.12种 B.24种 C.30种 D.36种 答案:B
解析:先从4人中选2人选修甲课程,有种方法,剩余2人再选修剩下的2门课程,有22种方法,∴共有×22=24种方法.
2.今有2个红球和3个黄球,同色球不加区分,将这5个球排成一列,则不同的排法种数为( ) A.10 B.20 C.15 D.30 答案:A
3.10名同学合影,站成了前排3人,后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为( ) A. B. C. D. 答案:C
解析:从后排抽2人的方法种数是;前排的排列方法种数是.由分步计数原理,不同调整方法种数是. 4.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A.85 B.56 C.49 D.28 答案:C
解析:甲、乙两人中选一个人,丙没有入选,则有:
=2×=42(种),
甲、乙两人均入选,则有=7(种). 共有42+7=49(种).
5.某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( ) A.85 B.86 C.91 D.90 答案:B
解析:由题意,可分三类考虑:
(1)男生甲入选,女生乙不入选:=31(种); (2)男生甲不入选,女生乙入选:=34(种); (3)男生甲入选,女生乙入选:=21(种), ∴共有入选方法种数为31+34+21=86.
6.(2013山东高考)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 答案:B
解析:构成所有的三位数的个数为=900,而无重复数字的三位数的个数为=648,故所求个数为900-648=252,应选B.
7.从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每个人只游览一个城市,且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览,则不同的选择方案共有( )种. A.240 B.360 C.480 D.600 答案:A 二、填空题
8.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答) 答案:480
解析:先排除甲、乙外的4人,方法有种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有·=480(种).
9.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员且1,2号中至少有1名新队员的排法有 种(用数字作答). 答案:48
解析:选1名老队员,则有··=36种;选2名老队员,
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则有···=12种.共有36+12=48(种).
10.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答). 答案:
解析:基本事件总数为=720,事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类,第一类:三节艺术课各不相邻有=144;第二类:有两节艺术课相邻有=216;第三类:三节艺术课相邻有=72.由古典概型概率公式得概率为.
11.将4名新来的同学分配到A,B,C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案种数是 . 答案:24
解析:将4名新来的同学分配到A,B,C三个班级中,每个班级至少安排一名学生有种分配方案,其中甲同学分配到A班共有种方案.因此满足条件的不同方案共有=24(种).
12.4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:选甲题答对得100分,答错得-100分,选乙题答对得90分,答错得-90分,若4位同学的总分为0分,则这4位同学不同得分情况的种数是 . 答案:36
解析:由于4位同学的总分为0分,故4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况:①甲:4人,乙:0人;②甲:2人,乙:2人;③甲:0人,乙:4人;对于①,须2人答对,2人答错;共有=6种情况;对于②,有=24种情况;对于③,与①相同,有6种情况,故共有6+24+6=36(种)不同的情况. 三、解答题
13.在某次中外海上联合搜救演习中,参加演习的中方有4艘船、3架飞机;外方有5艘船、2架飞机.若从中、外两组中各选出2个单位(1架飞机或1艘船都可作为1个单位,所有的船只两两不同,所有的飞机两两不同),则选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有多少种?
解:若中方选出1架飞机,则选法种数为=120;若外方选出1架飞机,则选法种数为=60.故不同选法共有120+60=180(种).
14.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本.
解:(1)无序不均匀分组问题.先选1本有种选法;再从余下的5本中选2本有种选法;最后余下3本全选有种选法.故共有=60(种)不同的分配方式.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在第(1)题的基础上,还应考虑再分配,故共有=360(种)不同的分配方式.
15.要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,有多少种不同选法? (1)有2名女生入选;
(2)至少有1名女生入选; (3)至多有2名女生入选; (4)女生甲必须入选; (5)男生A不能入选;
(6)女生甲、乙两人恰有1人入选.
解:(1)选2名女生有种选法,其余3人从7名男生中选有种,由分步乘法计数原理有·=350种选法.
(2)至少有1名女生入选的含义是可有1名女生,也可有2名女生,……,可有5名女生,因此可分为五类:
第一类:含1名女生,有·种选法; 第二类:含2名女生,有·种选法; 第三类:含3名女生,有·种选法; 第四类:含4名女生,有·种选法; 第五类:含5名女生,有·种选法; 则共有·····=771(种)选法.
(3)至多有2名女生入选的含义是可不含女生,可有1名女生,也可有2名女生,因此分三类: 第一类:不含女生,只选男生,有种选法; 第二类:含有1名女生,有·种选法; 第三类:含有2名女生,有·种选法.
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则共有··=546种选法.
(4)一定有女生甲,只需在其余的4女7男中任选4人即可,故有=330种选法. (5)男生A不能当选,除去男生A,剩下的6男5女中选5个,有=462种选法. (6)女生甲、乙恰有1人入选,有种可能,其余4人从除女生甲、女生乙以外的10人中选,有种可能,∴共有·=420种选法. 四、选做题
1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ) A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 答案:D
解析:对于4个数之和为偶数,可分三类,即4个数均为偶数,2个数为偶数2个数为奇数,4个数均为奇数,因此共有=66(种).
2.从4名男生和3名女生中选出4人担任志愿者,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有 种. 答案:34
3.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数. (1)若x=5,其中能被5整除的共有多少个? (2)若x=9,其中能被3整除的共有多少个? (3)若x=0,其中的偶数共有多少个?
(4)若所有这些三位数的各位数之和是252,求x.
解:(1)5必在个位,∴能被5整除的三位数共有=6(个).
(2)∵各位数字之和能被3整除时,该数就能被3整除, ∴这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成. ∴共有2×=12(个).
(3)偶数数字有3个,个位数必是一个偶数,同时0不能在百位,可分两类考虑: ①0在个位的,有=6(个).
②个位是2或4的,有=8(个), ∴这种偶数共有6+8=14(个).
(4)显然x≠0,∵1,2,4,x在各个数位上出现的次数都相同,且各自出现次, ∴这样的数字之和是(1+2+4+x)×,即(1+2+4+x)×=252, ∴7+x=14,∴x=7.
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