2013北约华约自主招生数学试题

2013“北约”自主招生数学试题

2013-03-16

（时间90分钟，满分120分）

一、选择题（每题8分，共48分） 1．以2和1?32为根的有理系数多项式的项的最高次数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

2．6?6方阵，3个红车，3个黑车，且6个均不在同一行且不在同一列，有（ ）种方法 A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 3．已知x2?2y?5，y2?2x?5，（x?y），则x3?2x2y2?y3值为（ ） A. ?10 B. ?12 C. ?14 D. 无法确定 4．在数列{an}中，a1?1，Sn?1?4an?2（n?1），则a2013值为（ ） A. 3019?22012 B. 3019?22013 C. 3018?22012 D. 无法确定 5．在?ABC中，D为BC中点，DM平分?ADB交AB于

DN平分?ADC交AC于N，MC?N点M，则B与MN的

关系为（ ）

A. BM?CN?MN B. MN?CN?MN

C. BM?CN?MN D. 无法确定

6．若A,B,C为三个复数A?B?C，且模全为1，则A. ?12BMN=（ ）

DCABC?AC?ABA?B?C B. 1 C. 2 D. 无法确定

二、解答题（每题18分，共72分）

7．最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数，并证明你的结论。 8．已知a1?a2?a3???a2013?0，且 |a1?2a2|?|a2?2a3|???|a2013?2a1| 证明：a1?a2?a3???a2013?0

9．对于任意?，求32cos??cos6??12cos4??15cos2?的值

10．有一个m?n的数表，已知每一行的数均是由小到大排列。现在将每一列的数由小到大重新排列，则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论。

62013年“华约”自主招生数学试题

1.设A??x|x?10,x?N?,B?A，且B中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互

不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9； （1）求B中的两位数和三位数的个数； （2）是否存在五位数，六位数？

（3）若从小到大排列B中元素，求第1081个元素. 1?sinx?siny???32.已知?，求cos(x?y),sin(x?y).

1?cosx?cosy??5?3.点A在y?kx上，点B在y??kx上，其中k?0,OA?OB?k?1，且A,B在y轴同侧.

（1）求AB中点M的轨迹C；

（2）曲线C与抛物线x2?2py(p?0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程.

4.7个红球，8个黑球，一次取出4个. （1）求恰有一个红球的概率；

（2）取出黑球的个数为X，求X的分布列和期望（EX）； （3）取出4个球同色，求全为黑色的概率.

25.数列?an?各项均为正数，且对任意n?N*满足an?1?an?can(c?0为常数).

2（1）求证：对任意正数M，存在N?N*，当n?N时有an?M； （2）设bn?11?can*,Sn是?bn?前n项和，求证：对任意d?0，存在N?N，当n?N时

有0?Sn?1ca1?d.

6.已知x,y,z是互不相等的正整数，xyz|(xy?1)(yz?1)(zx?1)，求x,y,z. 7.已知f(x)?(1?x)e?1； （1）求证：当x?0时f(x)?0； （2）数列?xn?满足xne

xn?1x?exn?1,x1?1，求证：数列?xn?递减且xn?12n.