2019年山东省烟台市中考数学试题(含解析)

PE?PQ?EQ?8?(10?x)， 所以12?x?8?(10?x)，解得x?9，

所以OE?9,

222222222OE9??0.45, OP12由参考数据表，可得，?AOB?41?．

在Rt△OPE中，cos?AOB?（2）解：当支柱的端点Q放在卡孔N处时，作出该支架的截面图如图（2），

BPO

FQ(N)A

第23题答图（2） 过点P作PE?OA，垂足为F，

此时，OP?12，ON?OQ，PQ?8，?AOB?20.5?， 因为PE?OA，

所以?OEP??PEQ?90?， 在Rt△OPE中，

PE， OP所以PE?OP?sin?AOB?OP?sin20.5??12?0.45?4.2， sin?AOB?在Rt△PEQ中，由勾股定理得，

FQ?PQ2?PE2?82?4.22?46.36?6.8，

在Rt△OPE中，由勾股定理得，

OF?OP2?PE2?122?4.22?126.36?11.24?122?x2，

所以ON?OF?FQ?11.24?6.8?18.04，

所以d?ON?OM18.04?10??1.6, 55所以相邻两孔的距离为1.6cm ．

【知识点】勾股定理、锐角三角函数、一元一次方程、计算器的使用． 24．（2019山东烟台，24，11分） 【问题探究】

(1)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，?ACB??DCE?90?，点B，D在同一直线上，连接AD，BD．

①请探究AD与BD之间的位置关系： ；

②若AC?BC?10，DC?CE? 【拓展延伸】

2，则线段AD的长为 ．

(2)如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，?ACB??DCE?90?，AC?21，BC?7，CD?3，CE?1，将△DEC绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角?BCD为?(0????360?)，作直线BD，连接

AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．

【思路分析】第（1）问中，利用SAS判定两个三角形（△ACD与△BCE）全等，利用全等三角形的性质得到最应角相等，利用有两个角互余的三角形是直角三角形得到△ABD是直角三角形，所以AD与BD之间的位置关系为垂直，在Rt△ABD中利用勾股定理列一个方程，从而求得AD的长；第（2）问中，利用旋转的性质可以判定△ACD与△BCE相似，然后利用有两个角互余的三角形是直角三角形得到△ABD是直角三角形，所以AD与BD之间的位置关系为垂直，在Rt△ABD中利用勾股定理列一个方程，从而求得AD的长，注意需要对不同的位置进行分类讨论． 【解题过程】

（1）本题的答案是 ①AD?BD ②4 探究过程如下：

①因为△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，?ACB??DCE?90? 所以CA?CB，CD?CE，?ACB??BCD??DCE??BCD 所以?ACD??BCE， 在△ACD与△BCE中，

因为CA?CB，?ACD??BCE，CD?CE，

所以△ACD≌△BCE，

所以?CAD??CBE, 因为?ACB?90?

所以?CAD??DAB??ABC?90?， 所以?CBE??DAB??ABC?90?

即?DAB??DBA?90?

所以?ADB?90?， 所以AD?BD．

②由①可得△ACD≌△BCE， 所以AD?BE,

在Rt△DCE中，由勾股定理得，

DE?CE2?CD2?(2)2?(2)2?2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

AB?AC2?BC2?(10)2?(10)2?25，

设AD?x，则BE?x，

所以BD?BC?DE?x?2， 在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AB2?AD2?BD2，

222即 (25)?x?(x?2)

解得x?4或x??2（舍去），

所以AD?4,

即线段AD的长为4．

（2）解：情况1：当0????180?时，点B，D，E在同一直线上时的图形如图（1）所示，

BDA

C第24题答图（1） E

因为?ACB??DCE?90? 所以?ACB??BCD??DCE??BCD 所以?ACD??BCE， 因为

DC3AC21??3， ??3，CE1BC7所以

ACDC ?BCCEACDC，?ACD??BCE， ?BCCEADAC??3， BEBC在△ACD与△BCE中， 因为

所以△ACD∽△BCE，

所以?CAD??CBE,所以AD?3BE

因为?ACB?90?

所以?CAD??DAB??ABC?90?， 所以?CBE??DAB??ABC?90?

即?DAB??DBA?90? 所以?ADB?90?，

在Rt△DCE中，由勾股定理得，

DE?CE2?CD2?12?(3)2?2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

AB?AC2?BC2?(21)2?(7)2?27，

设BE?x，则AD?3BE?3x，

所以BD?BC?DE?x?2， 在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AB2?AD2?BD2，

222即 (27)?(3x)?(x?2)

解得x?3或x??2（舍去），

所以AD?3BE?33, 即当0????180?时，点B，D，E在同一直线上时，线段AD的长为33． 情况2：当180????360?时，点B，D，E在同一直线上时的图形如图（2）所示，

BEADC

第24题答图（2） 因为?ACB??DCE?90?

所以?ACB??ACE??DCE??ACE 所以?ACD??BCE， 因为

DC3AC21??3， ??3，CE1BC7所以

ACDC ?BCCEACDC，?ACD??BCE， ?BCCEADAC??3， BEBC在△ACD与△BCE中， 因为

所以△ACD∽△BCE，

所以?CAD??CBE,所以AD?3BE

因为?ACB?90?

所以?CAD??DAB??ABC?90?， 所以?CBE??DAB??ABC?90?

即?DAB??DBA?90? 所以?ADB?90?，

在Rt△DCE中，由勾股定理得，

DE?CE2?CD2?12?(3)2?2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

AB?AC2?BC2?(21)2?(7)2?27，