数法)与基本技能(列方程解应用题及解一元二次方程)，中等难度．
【推荐指数】★★★
26．（2010连云港，26，10分）如图10，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距
离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．
（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：3≈1.73，sin74°
≈，
cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
A
BPEFQ
图10
【分析】（1）容易猜想；AB、AE相等；要证明AB＝AE，思路有三种：①AB、AE都在△ABE中，可考虑等角对等边，则需证明∠AEB＝∠ABE；②若证明AB、AE所在三角形△AEF、△ABF全等也可；③如果能说明AF垂直平分线段BE，则必有AB＝AE成立．
（2）求两个岛屿A和B之间的距离，即求线段AB的长度，方法有两种：①由（1）可知AF⊥BE，则可考虑直接解直角三角形求AB的长度；②因为AB＝AE，所以可思考转化为求AE的长度，这样就需过点A作PQ的垂线段，构造直角三角形，再利用解直角三角形知识解决．
【答案】（1）相等， 证明：∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BF． 又∵∠AFP＝60°，∴∠BFA＝60°．
在△AEF与△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，∴△AEF≌△ABF，∴AB＝AE．
（2）法一：作AH⊥PQ，垂足为H，设AE＝x， 则AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1． Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，
∴x≈3.6，即AB≈3.6 km．答：略．
法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，∵EF＝1，∴EG＝在Rt△AEG中，∠AEG＝76°，AE＝EG÷cos76°＝3． 23÷0.24≈3.6．答：略． 2 【涉及知识点】三角形全等判定 解直角三角形实际应用(航海类问题) 锐角三角函数 垂直平分线性质 等腰三角形性质(等角对等边)
【点评】解直角三角形是初中阶段数形结合的一个重要的知识点，所以其实际应用一直都是中考热点问题．本题的（1）（2）两问衔接恰当，（1）问为（2）问的解决卸下了不少难度，且解法较多，涉及数据较复杂，是一道很好的解直角三角形实际应用问题．
【推荐指数】★★★★
27．（2010连云港，27，10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我
们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如：平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_______；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那
么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边
形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
E
BABA
C图1
DC
图2
D
图11
【分析】（2）设AE与BC相交于点F．观察图形可知，要证明S梯形ABCD＝S△ABE，就是要证明除去两个三角形公共部分外的两个小三角形△ABF和△CEF的面积相同．方法一：连接线段BE，△ABC和△AEC同底等高面积相等，再同时减去公共部分面积，即可说明△ABF和△CEF的面积相同；方法二：直接证明△ABF≌△ECF，也说明△ABF和△CEF的面积相同．同化与（1）可知，梯形ABCD的面积等分线即为△ADE的面积等分线，故只要作出△ADE的BD边中线即可．
（3）问题更加趋向一般，由第（2）问可知．AB与CD是否平行，不影响△ABF和△CEF的面积相同．故可依法炮制．
【答案】（1）中线所在的直线．
（2）法一：连接BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ． ∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．
BAABEC图1 G D
E C
F 图2
D
法二：设AE与BC相交于点F．∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF． 又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF．∴S梯形ABCD＝S四边形AFCD＋S△ABF＝S四边形AFCD＋S△ECF＝S△AED ．
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图①所示．
（3）能．连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ． ∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．
∵S△ACD＞S△ABC ，∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．作图如图②所示． 【涉及知识点】三角形的中线性质 梯形 垂直平分线的作法 平行四边形的判定 三角形全等的判定
【点评】本题选取课本基础知识：三角形中线平分三角形面积、梯形剪拼成三角形实验等，设计数学实践活动情景，问题由特殊到一般，在考查基础知识综合应用的同时，兼顾考查学生知识转化能力，作图能力以及实践操作能力，符合新课改精神，是一道不可多得的好题．
【推荐指数】★★★★★
28．（2010连云港，28，14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐
标为（－2，－2），半径为2．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点 （1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为
E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．
y BP · O · C Ax 图12
【分析】（1）要证CO⊥AB，则必须先延长CO．注意到直线AB的函数关系式特点，可从角度入手，找到90°证明垂直；
（2）△POA是等腰三角形要分两种情况讨论，①OP＝OA；②OP＝PA；③AP＝AO．各种情况讨论时要注意利用图形中的特殊的几何关系；
（3）此问其实包含两小问，第一小问要分两种情况讨论，即直线PO绕圆心O旋转过程中两次与圆C相切，解答较为简单；第二小问中由“点M为线段EF的中点”可考虑，连接MC，构造垂径定理适用图形，可得CM⊥EF，又CO⊥AB，则出现一组相似三角形．再利用相似三角形对应边成比例即可得到s与t之间的函数关系，再结合第一小问可得到t的取值范围．
【答案】（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵直线AB的函数关系式是y＝－x＋2，∴易得A(2，0)，B(0，2)，∴AO＝BO＝2． 又∵∠AOB＝90°，∴∠DAO＝45°．
∵C(－2，－2)，∴CG＝OG＝2，∴∠COG＝45°，∠AOD＝45°，∴∠ODA＝90°． ∴OD⊥AB，即CO⊥AB．
y BG O H A· C （2）要使△POA为等腰三角形．
①当OP＝OA时，此时点P与点B重合，所以点P的坐标为(0，2)； ②当OP＝PA时，由∠OAB＝45°，所以点P恰好是AB的中点，所以点P的坐标为(1，1)；
③当AP＝AO时，则AP＝2，过点作PH⊥OA交OA于点H，
在Rt△APH中，易得PH＝AH＝2，∴OH＝2－2，∴点P的坐标为(2－2，2)． ∴若△POA为等腰三角形，则点P的坐标为(0，2)或(1，1)或(2－2，2)．
y BG F O C· M K E Ax P x P · D D （3）当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK． 由点C的坐标为(－2，－2)，易得CO＝22．∴∠POD＝30°，
又∠AOD＝45°，∴∠POA＝75°，同理可求得∠POA的另一个值为15°． ∵M为EF的中点，∴CM⊥EF，
又∵∠COM＝∠POD，CO⊥AB，∴△COM∽△POD，所以＝CO·DO．
∵PO＝t，MO＝s，CO＝22，DO＝2，∴st＝4．
但PO过圆心C时，MO＝CO＝22，PO＝DO＝2，即MO·PO＝4，也满足st＝4． ∴s＝
264．(2≤t≤)．
3t【涉及知识点】一次函数 反比例函数 等腰三角形 相似三角形的性质 直线与圆位
COMO，即MO·PO?PODO 置关系
【点评】本题是一道典型的动态问题，其中涉及知识点密集，多次考查分类讨论思想的运用．其中，第1问属于一次函数变式问题，只要学生敢于尝试，多数能够完成；第2问是学生较为熟悉的等腰三角形分类讨论问题，学生有相关解题经验，应当属于中等难度问题；第3问则是一道依托于第1问的动态问题，难度较大．应当说本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，具有明显的区分度．
【推荐指数】★★★★★
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