(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上
16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？
（1）S1=（2）S2=
是
不是 加法不封闭
（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案
8.设S={0，1，2，3}，
为模4乘法，即
y=(xy)mod 4
\?x,y∈S, x
问〈S，
〉是否构成群？为什么？
y=(xy)mod 4?S,
是S上的代数运算。
解：(1) ?x,y∈S, x
(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3
(x
y)
z =((xy)mod 4)
z=r
z=(rz)mod 4
=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x
(y
z) =(xyz)mod 4 y)
z = x1)=(1
(y
z)，结合律成立。
所以，(x(3) ?x∈S, (x
x)=x,，所以1是单位元。
(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以，〈S，
9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： \?x,y∈Z,xoy= x+y-2
〉不构成群
问Z关于o运算能否构成群？为什么？
解：(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,
(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设e是单位元，?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x?1?y?4?x 所以〈Z，o〉构成群
??10??10?11.设G=???01??,??0?1??,?????群．
??10???10???证明G关于矩阵乘法构成一个?01??,??0?1???，?????解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律
?10?(3)设??01??是单位元，
??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群．
14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。
证明:?x,y∈G，设x?ak,y?al，则 xy?akal?ak?l??al?k?alak?yx 所以，G是交换群
17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
22?e0，即e0?e0e，由消去律知e0?e 证明:设e0?G也是幂等元，则e0
18.设G为群，a,b,c∈G,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)k?e?(bca)k?e
设(abc)k?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e，
bc)(abc)?a(bc)aa?1?e 即 a(bc)(a左边同乘a?1，右边同乘a得
(bca)(bca)(bca)?(bca)?(bac)k?a?1ea?e
反过来，设(bac)?e,则(abc)?e.
kk由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣
19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，?a?G，当a?e时，a是一阶元，当a?e时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a?1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元
20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元。
若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；
若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2?e，a?1?a
?a,b?G,a?1?a,b?1?b,(ab)?1?ab,所以ab?a?1b?1?(ba)?1?ba，
与G为Abel群矛盾；
所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则a?a2，且a2a?aa2。 令b?a2的证。
21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。 （1）全体对称矩阵 是子群 （2）全体对角矩阵 是子群
（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵。 是子群
22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即
N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。 证明：ea=ae,e?N(a)??
?x,y?N(a),则ax?xa,ay?ya
a(xy)?(ax)y?(xa)y?x(ay)?x(ya)?(xy)a,所以xy?N(a)
?1由ax?xa，得x?1axx?1?x?1xax?1,x?1ae?eax，即x?1a?ax?1，所以
x?1?N(a)
所以N（a）构成G的子群
31.设?1是群G1到G2的同态，证明?1??2是G1到G3的同态。 ?2是G2到G3的同态，证明：有已知?1是G1到G2的函数，?2是G2到G3的函数，则?1·?2是G1到G3的函数。
?a,b?G1,(?1??2)(ab)??2(?1(ab))??2(?1(a)?1(b)) ?(?2(?1(a)))(?2(?1(b)))?(?1??2)(a)(?1??2)(b) 所以:?1·?2是G1到G3的同态。
33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。
证明：设G是循环群,令G=,?x,y?G,令x?ak,y?al,那么
xy?akal?ak?l?al?k?alak?yx,G是阿贝尔群
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