2020年中考数学基础题型提分讲练专题19以三角形为背景的证明与计算含解析

（1）见解析；（2）见解析. 【答案】【解析】 (1)∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC， 在?DBC与?ECB中

?BD?CE???DBC??ECB， ?BC?CB?∴ ?DBC??ECB； (2)由(1) ?DBC??ECB， ∴∠DCB=∠EBC， ∴OB=OC. 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

9．（2019·江苏中考真题）如图，?ABC中，∠C?90o，AC?4，BC?8．

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长． （1）详见解析；（2）BD?5． 【答案】【解析】

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（1）如图直线MN即为所求．

（2）∵MN垂直平分线段AB，∴DA?DB， 设DA?DB?x，在Rt?ACD中，

∵AD2?AC2?CD2，∴x2?42??8?x?， 解得x?5，∴BD?5． 【点睛】

本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．（2019·湖北初二期中）（问题提出）

如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明：AB=DB+AF （类比探究）

（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由

（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．

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【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD． 【解析】

（1）证明：DE=CE=CF，△BCE 由旋转60°得△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF=CE，

∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°， ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°， ∵∠DBE=120°， ∴∠EAF=∠DBE，

又∵A，E，C，F四点共圆， ∴∠AEF=∠ACF， 又∵ED=DC，

∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF， ∴∠D=∠AEF， ∴△EDB≌FEA， ∴BD=AF，AB=AE+BF， ∴AB=BD+AF．

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类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF=CE，

∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，

∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA， ∴∠FCG=∠FEA， 又∠FCG=∠EAD ∠D=∠EAD， ∴∠D=∠FEA，

由旋转知∠CBE=∠CAF=120°， ∴∠DBE=∠FAE=60° ∴△DEB≌△EFA， ∴BD=AE， EB=AF， ∴BD=FA+AB． 即AB=BD-AF．

（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD） 如图③，

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，

ED=EC=CF，

∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF=EC， 又∵ED=EC， ∴ED=EF，

∵AB=AC，BC=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， 又∵∠CBE=∠CAF， ∴∠CAF=60°，

∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC =180°-60°-60° =60°

∴∠DBE=∠EAF； ∵ED=EC， ∴∠ECD=∠EDC，

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