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高考数学压轴题冲关系列2

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压轴题冲关系列(二)

(时间:45分钟 分数:60分)

1.(12分)(2015·湖南怀化一模)已知函数f(x)=ln x-mx+m,m∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; f?b?-f?a?1(3)在(2)的条件下,任意的0<a<b,求证:<.

b-aa?1+a?1-mx1

解:(1)f′(x)=x-m=x(x∈(0,+∞)),

当m≤0时,f′(x)>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

1-mx1

当m>0时,由f′(x)=x-m=x>0,

1?1????1???????上单调递0,0,,+∞则x∈则f(x)在在mm?,m?上单调递增,????减.

(2)由(1),得当m≤0时显然不成立;

?1?1

??当m>0时,f(x)max=fm=ln m-1+m=m-ln m-1, ??

只需m-ln m-1≤0,

1

即令g(x)=x-ln x-1,则g′(x)=1-x,

函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ∴g(x)min=g(1)=0.

则若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,m=1. f?b?-f?a?ln b-ln a+a-bln b-ln a(3)==-1

b-ab-ab-a

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