2019-2020年高三数学一轮复习 基础知识课时作业(四十二)

2019-2020年高三数学一轮复习 基础知识课时作业(四

十二)

一、选择题

1．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b( C ) A．一定是异面直线 C．不可能是平行直线

B．一定是相交直线 D．不可能是相交直线

解析：c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾．

2．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝M，则平面ABC与β的交线是( D )

A．直线AC C．直线BC

B．直线AB D．直线CM

解析：通过直线AB与点C的平面，为面ABC，M∈AB.∴M∈面ABC，而C∈面ABC，又∵

M∈β，C∈β.∴面ABC和β的交线必通过点C和点M.

2题图 3题图

3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( C )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

解析：分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF，所以异面直线BA1

与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝2，DF＝6，由余弦定理得，∠DEF＝120°.

4．如图，平面α与平面β交于直线l，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是( D )

A．若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交 B．若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行

C．若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线

D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

解析：对于A，直线BD与l只能平行；对于B，直线MN与l异面；对于C，AB与CD可能为异面直线．当直线AB与CD的中点M，N重合时，必有直线AC∥l，故不可能相交，综上所述，故选D.

5．平面α，β的公共点多于两个，则

①α，β垂直；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．

以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于( C ) A．0 C．2

B．1 D．3

解析：由条件知当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立．

6．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β( D )

A．不存在 C．有且只有两对 解析：

在平面β内l与b夹角为30°，且γ⊥β，与γ平行的平面有无数个，每个平面内均有直线与l平行，且与b异面，故选D.

二、填空题

7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．

解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．

设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝

B．有且只有一对 D．有无数对

AF2＋AE2＝6a，

1

根据余弦定理，得cos∠FDE＝＝－，所以∠FDE＝120°.

22×2a×2a所以PC与AB所成角的大小是60°.

2a＋2a－6a2

2

2

答案：60°

8．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．

解析：①、②、④对应的情况如下：

用反证答案：①9．在图在棱的中点，

法证明③不可能． ②④

中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

解析：图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN， 因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN；因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN， ∴GH与MN异面．

所以图②、④中GH与MN异面． 答案：②④

三、解答题

10.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.

(1)求AH∶HD；

(2)求证：EH、FG、BD三线共点．

解：(1)∵＝＝2，∴EF∥AC.

∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴＝即AH∶HD＝3∶1.

AECFEBFBAHCG＝3，

HDGDEF1GH1

(2)证明：∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠GH.

AC3AC4

∴四边形EFGH为梯形．

令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH?平面ABD，所以P∈面ABD，P∈FG，FG?平面BCD，所以P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点． 11．正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 解：(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体， 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD－A1B1C1D中，

AC⊥BD，AC∥A1C1，

∵E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°.

12．如图所示，在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝133

，AC＝，求AC和BD所成的角的大小． 22

解：如图所示，分别取AD，CD，AB，DB的中点E，F，G，H， 连接EF，FH，HG，GE，GF， 则由三角形中位线定理知EF∥AC