∴当cos??
2时，|MC|取得最小值3． 2x2y211.（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为2?2?1(a?b?0)，
ab∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， ∴b?c?1，a?2，
x2故所求椭圆方程为?y2?1．
2（Ⅱ）右焦点F(1,0)，直线l的方程为y?x?1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)， ?x2?2y2?21由?得，3y2?2y?1?0，解得y1??1，y2?，
3?y?x?1∴S△DOQ?112|OF|?|y1?y2|?|y1?y2|?． 223（Ⅲ）假设在线段OF上存在点M(m,0)(0?m?1)， 使得以MP，MQ为邻边的平行四边形建菱形，
因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y?k(x?1)(k?0)， ?x2?2y2?2由?可得：(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0， ?y?kx?14k22k2?2∴x1?x2?，x1x2?，
1?2k21?2k2uuuruuuuruuurMP?(x1?m,y1)，MQ?(x2?m,y2)，PQ?(x2?x1,y2?y1)，
uuuruuuuruuurMQx?x?0其中21，以MP、为邻边的平行四边形是菱形?(MP?MQ)⊥PQ，
uuuruuuuruuur∴(MP?MQ)?PQ?0，即(x1?x2?2m)(x2?x1)?(y1?y2)(y2?y1)?0， ∴(x1?x2?2m)?k(y1?y2)?0，
2?4k2??2?4k22?2m?k?2∴?????0，化简得2k?(2?4k)m?0， 22?1?2k??1?2k?k2∴m?(k?0)，
1?2k21∴0?m?．
2
x2y212.解：Ⅰ设椭圆C的标准方程为??2?1(a?b?0)，
ab 16
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2?8y的准线y??2上， ∴?b??2，即b?2， 又∵
c3，a2?b2?c2， ?a2∴a?4，c?23，
x2y2?1． 故椭圆C的标准方程为?164Ⅱ（i）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y??3x?t?y?6联立?，得x2?3tx?3t2?12?0， ?x2?4y2?16?3x?t， 6由??0，计算得出?4343， ?t?33∴x1?x2??3t，x1x2?3t2?12， ∴|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?48?9t2，
1∴四边形APBQ的面积S??23?|x1?x2|?3?48?9t2，
2当t?0时，Smax?12．
（ii）∵∠APQ?∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k， 则PB的斜率为?k，直线PA的方程为：y?3?k(x?2)，
??y?3?k(x?2)联立?2，得(1?4k2)x2?8k(3?2k)x?4(3?2k)2?16?0， 2??x?4y?16∴x1?2?8k(2k?3)，
1?4k2?8k(?2k?3)8k(2k?3)， ?1?4k21?4k2同理可得：x2?2?16k2?4163k∴x1?x2?，， x?x?121?4k21?4k2kAB?y1?y2k(x1?x2)?4k3??， x1?x2x1?x26∴直线AB的斜率为定值
3． 6 17
13.（1）∵椭圆M过点A(0,?1)，∴b?1． ∵e=c3，a2?b2+c2，∴a?2． ?a2x2∴椭圆M的方程为+y2?1．
4（2）依题意得k?0，因为椭圆M上存在点B，C关于直线y?kx?1对称， 所以直线BC与直线y?kx?1垂直，且线段BC的中点在直线y?kx?1上，
1设直线BC的方程为y??x+t，B(x1,y1)，C(x2,y2)．
k1??y??x+t由?，得(k2+4)x2?8ktx+4k2t2?4k2?0． k?x2+4y2?4?由??64k2t2?4(k2+4)(4k2t2?4k2)?16k2(4?k2t2+k2)?0，得k2t2?k2?4?0． ∵x1+x2?8kt， k2+4?4ktk2t?∴BC的中点坐标为?2,2?．
?k+4k+4?k2t4kt又线段BC的中点在直线y?kx?1上，∴2?k?2?1，
k+4k+43k2t22∴2或k?． ?1，代入k2t2?k2?4?0，得k??22k+4?2?2??∴S??kk??或k??．
22????k2t1∵2?， k+4311∴对于?k?S，线段BC的中点的纵坐标恒为，即线段BC的中点总在直线y?上．
33
14.（1）由e?1，得a?2c， 2又a2?b2?c2，∴b?3c， x2y2∴椭圆C:2?2．
4c3c?1 18
9?3?c∵点?1,?在上，∴14?1，得c?1， ??2?4c23c2∴a?2，b?3，
x2y2∴椭圆C的方程为??1．
43?xy??xy?（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则P?1,1?，Q?2,2?，
?23??23?uuuruuurPQ由以为直径的圆经过坐标原点，得OP?OQ?0，
即
x1x2y1y2??0①， 43?y?kx?m?由?x2y2，消去y整理得(3?4k2)x2?8mk?4(m2?3)?0，
?1??3?4由??64k2m2?16(3?4k2)(m2?3)?0，得3?4k2?m2?0．
8mk4(m2?3)而x1?x2??，x1x2?，②
3?4k23?4k23(m2?4k2)③， 所以y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?3?4k2224(m2?3)3(m2?4k2)??0，即2m2?4k2?3． 将②③代入①得224(3?4k)4(3?4k)48(4k2?m2?3)又∵|AB|?1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?，
3?4k2222原点O到直线l:y?kx?m的距离d?|m|1?k2，
∴S△AOB48(4k2?m2?3)11|m|2?|AB|d?1?k??， 2223?4k21?4k把2m2?4k2?3代入上式得S△AOB?3， 故△AOB的面积为定值3．
?b?1?2?c15.（1）由题意可得??，解得a?2，b?c?1，
a2??a2?b2+c2?x2∴椭圆C的方程为+y2?1．
2 19
（2）设直线l的方程为y?k(x?1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 ?y?k(x?1)?2，消去y得(2k2+1)x2?4k2x+2k2?2?0， ?x2?+y?1?24k22k2?2x1+x2?2，x1x2?2．
2k+12k+1∵AB?42， 322???4k2k2?2?422∴(1+k)??2??4?2??，
2k+1?2k+1?3????化简得7k4?2k2?5?0即(k2?1)(7k2+5)?0， 解得k??1．
故直线l的方程为y?x?1或y??x?1．
?41?（3）由（2）可知A(0,?1)，B?,?，假设存在点M(m,0)，设T(x0,y0)，则
?33?2?x02?+y0?1?24?42?6?(x0?m)+y0?0，解得m??(0,1)， 332?y0?x0+m?1??22?故不存在点M(m,0)，使得以MA，MB为邻边的四边形MATB是菱形．
16.（1）设动圆圆心为，半径为 ∵两个定圆为∴其圆心分别为∵
∴两个定圆相内含 ∵动圆与两个圆均相切 ∴∴
，
，
和
，半径分别为，
20
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