欧式期权定价理论及其数值计算方法毕业论文设计

C01?r?S??P?f00?X1?rf?S0?X (2.11) 1?rf 介绍了关于期权的一些知识和欧式期权价格的性质，接下来就要了解期权定价的模型。第三章和第四章就是介绍离散型的二叉树模型和连续型的Black-Scholes模型。 原理2.1：风险中性定价原理，任何依附于股票价格的衍生证券可以在风险中性世界的基础上进行估值。

这个原理在期权定价中不容忽视，风险中性原理意味着：为了计算期权的价值，我们可以假设：

(1)所有可交易的证券的期望收益都是无风险利率； (2)未来现金可以用其期望值按无风险利率贴现来计算[4]。

3 二项式模型

3.1 二项期权定价模型介绍

二项期权定价模型最早由考克斯(Cox)、罗斯(Ross)和鲁宾斯坦(Rubinstein)提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。

二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出该股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。 3.2 欧式期权定价模型 二叉树模型的假设条件[5] (1).股票市场是有效的；

(2).存在着股票的卖空机制，但不存在套利机会；

(3).股票和期权合约的买卖不设计交易成本、也不考虑税收； (4).市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入借出资金； (5).无风险利率为常数；

(6).金融市场上的投资者都是风险中立者；

(7).假设基础资产的价格在离散的或不连续的时间内服从一个倍增的二项式过程。 3.2.1 一期模型的欧式看涨期权定价

为简单起见，假设不存在交易费用、税收等成本，还假设资本市场上存在一种无风

险证券(债权)，人们可以用无风险利率不受限制地借或贷。因为股票的价格下一期的股价只有两种可能的状态：上升或下降，而且可能上升到的概率为，下降到的概率为。其中。所以的运动如图1所示：

图1 股票价格的一期运动

一个执行价格为的欧式看涨期权在时，以的概率取，的概率取。记这个期权在的价格。

命题3.1：股票价格运动一期的情况下,期权在的价格为

证明：构造一个在的总投资为的投资组合，在期权到日，它以概率取值，以概率取值。

选择使得这个投资组合在的两种状态下取值相等，即

由此解出

(3.1)

为了不存在套利机会，这个投资组合的期初投资在时的价值必须等于

即

(1?rf)(S?mC)?uS?mCu?dS?mCd

由此解

(3.2)

式(3.2)可改写为

1C?1?rf如记：

??u??1?rf??????1?rf??d??C?C?????u? (3.3) du?du?d????????????

(3.4)

则式(3.3)可记为

(3.5)

由命题3.1中的式(3.4)知道：及，从而可把看做一个概率分布，称它为风险中性(Risk Neutral)概率或对冲概率(Hedging Probablity)，从而式(3.5)可改写为

其中是指按风险中性概率，而不是按实际概率计算的数学期望。从形式上看，以“概率”取，以“概率”取。这里概率打引号意指和不是实际概率，是一个人为的概率。一个风险中性的投资者对在任何股票上投资要求的期望回报率都为无风险利率，所以在这种情况下风险中性投资者认为就是股票从上升到的概率。这就是为什么把称为风险中性概率的原因。

这个证明过程对欧式看跌期权也成立。因此当股价运动模式如图1所示，欧式看跌期权在时的价值

11?P?E?P?qPu?(1?q)Pd??1? (3.6)

1?rf1?rf式中：；；由式(3.4)给出。

3.2.2 二期模型的欧式看涨期权定价

接下来考虑的是二期问题，在时刻时，股价以概率上升到，以概率下降到。在时刻，又在的基础上分别以概率和上升和下降。二期股价运动的二项式模式如图2所示。

图1 股票价格的二期运动

命题3.2：股票价格运动二期的情况下,期权在的价格为

C?1?1?r?f222??qCuu?2q(1?q)Cud?(1?q)Cdd??。

证明：假设每一期的无风险利率都是。在得知二期期权价格、和，利用一期的评价公式来求出和，则有：

Cu?Cd?1?qCuu?(1?q)Cud? (3.7) 1?rf1?qCud?(1?q)Cdd? (3.8) 1?rf其中和是式(3.4)的风险中性概率。再用一次一期的评价公式，就推得在时期权的价值

.

把式(3.7) (3.8)代入上式，得

C?1?1?r?f222?qC?2q(1?q)C?(1?q)Cdd?uuud?? (3.9)

注意：命题3.2的证明过程中的式 (3.10)右边方括号内的系数正好满足

q2?2q(1?q)?(1?q)2??q?(1?q)??1,故如果把，和分别看成取值在，和的概率，则式

2(3.10)也可以改写成为

其中数学期望是按风险中性概率分布[，，]计算的。

和一期模型一样，此推导过程对二期欧式看跌期权定价也同样合适，欧式看跌期权在时的价值

P?1?1?r?f222?qP?2q(1?q)P?(1?q)Pdd?uuud?? (3.10)

式中：；；，由式(3.4)给出。 3.2.3 多期二项式期权定价公式

在了解了一期和二期二项式期权定价公式，现在来推广到期的情形。

命题3.3：股票价格运动期的情况下,期权在的价格为

C?1?1?rf?TT!qn(1?q)T?nmax(undT?nS?X,0) ?n?0(T?n)!n!T 证明：设在期内股价上升次(从而下降了次)，则最终股价为，从而在期权的价值为

.

一个有二项分布的随机变量，取的概率为，取的概率为,则取值的概率为

B(n|T，q)?

T!qn(1?q)T?n,

(T?n)!n!