惠州市高三第一次调研考试
数 学 (理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复数z?i（其中i为虚数单位）的虚部是 （ ） 1?iA.?1 2B.
11i C. 221D. ?i
22．已知集合A?{yy?x?1,x?R}，B?{xx?2}，则下列结论正确的是（ ）
A.?3?A B.3?B C. A?B?B D. A?B?B
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该
校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )
A.15 B.20 C. 25 D. 30
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4?18?a5，则S8? ( )
A.18
2B.36 C. 54
1x54D. 72
4 3 2 3 5．在二项式(x?)的展开式中，含x的项的系数是（ ）
A.10 B.?10 C. ?5 D. 20
正视图 3 俯视图 侧视图
6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）
A.30 B.12 C. 24 D. 4
7．已知x,y都是区间[0,?2]内任取的一个实数，则使得y?sinx的取值的概率是（ ）
A.4?2
B.21 C. ?2D.
2?2
8．已知向量a与b的夹角为?，定义a?b为a与b的“向量积”，且a?b是一个向量，它的
rrr长度a?b?absin?，若u?(2,0)，u?v?(1,?3)，则u?(u?v)?（ ） A.43
B.3 C. 6
D. 23
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数y?log3(3x?2)的定义域是 .
10．以抛物线y?4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .
211．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.
?x?0?12．设变量x,y满足?x?y?1，则x?y的最大值是 .
?y?1?13．函数f(x)的定义域为R，f(?1)?2，对任意x?R，f'(x)?2，则f(x)?2x?4的解
集为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，A，B分别是直线?cos???sin??5?0和
圆??2sin?上的动点，则A，B两点之间距离的最小值是 . 15．(几何证明选讲选做题)如图所示，?OAB是等腰三角形，
O P是底边AB延长线上一点，
且PO?3，PA?PB?4，则腰长OA= .
A
B P
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知sinxx?2cos?0. 22(1)求tanx的值； (2)求
cos2x2cos(?x)?sinx4?的值．
17．（本小题满分12分）
去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0?50为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为?5,15?，
?15,25?，?25,35?，?35,45?，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求a的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi?i?1,2,3,L,n?，则样本
数据的平均值为X?x1p1?x2p2?x3p3?L?xnpn.）
(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中
随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为?，求?的分布列和数学期望.
18.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC?侧面A1ABB1，且AA1?AB?2
0.032
a 0.020 0.018
频率 组距 O 5 15 25 35 45 空气质量指数
(1) 求证：AB?BC；
(2) 若直线AC与平面A1BC所成的角为
19．（本小题满分14分）
已知数列?an?中，a1?3，前n项和Sn?(1) 求数列?an?的通项公式； (2) 设数列?A
B C ?，求锐二面角A?A1C?B的大小。 6A1 B1
C1
1(n?1)(an?1)?1． 2?1??的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn?M对一切正整数n都
?angan?1?成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
x2y21椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为10．
ab2(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的
圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
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