归纳与演绎

第13章 归纳与演绎

13．1 归纳与演绎方法概述

在人类认识客观世界的发展历程中，归纳和演绎作为两科t重要的思维方法， 曾经起着还必将继续发挥巨大的功能和作用。占希腊时期，人们习惯于从某些原 理原则出发，采用演绎的方法来说明问题，伟大的思想家亚里士多德总结当时人 们思维的成果，对演绎进行充分的研究，写fqJ《工具论》一书，奠定了他作为逻 辑学创始人的地位。

到了十七世纪，生产力的发展和科学技术的进步，使人们注意实践和经验的 总结。英圈唯物主义哲学家培根适应时代的要求，总结经验科学的成果，较全面 地研究并提倡归纳法，强调经验在认识中的作用，与《工具论》相对立而写出《新 工具》一书。他在书中写道：“寻求和发现真理的道路……是从感觉与特殊事物把 公理引伸出来，然后不断地逐步上升，最后才?达到最普遍的公理。”

在逻辑科学发展过程中，早期形成的纯演绎派和完全归纳派都曾经片面夸大 各自的作用，把归纳和演绎看成是互相割裂、绝对对立的思想方法。因此，恩格 斯特别指出：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系的。不应当牺 牲一个而把另一个捧到天上去，应该把每一个都用到该用的地方，而要做到这一一 点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。”

一般说来，人们认识现实越界的事物，有时候是由认识个别的和特殊的事物， 进而认识一般的事物；有时候又由认识一般的事物过渡到认识特殊的和个别的事 物。前者我们称为归纳，后者称为演绎。这是人类认识运动的两种方向相反的思 维过程。比如人们在对许多个别的三角形的三个角进行度量和计算后，发现三个 角的和都等于180。，通过归纳就会得到一个一般性认识：“三角形的三个内角和 等于180一?。有了这个一般性认识，当人们要认识某一特殊的比如等腰直角三角 形的一个锐角是多少度时，我们就可芝t由这个一般的认识通过演绎而得到如下特 殊的和个别的认识：等腰直角三角形的锐角等于45。。由此我们还看到，归纳和 演绎决不是互相割裂和绝对对立的。它们虽然是互相区别、彼此对立的，然而它 们又相互联系、相互依存，在一定条件下互相转化。这就是说，在人们的认识过 程中，由个别、特殊到一般和由一般到特殊、个别，总是交错进行着的，认识的 上升运动，既不是单纯的归纳，也不是单纯的演绎。归纳帮助我们把对于许多个 别事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。演绎把我们从 归纳得出的一般结论作为根据，继续研究那些尚未深入研究或者新出现的个别事 物和其他特性，而这一研究也为进一步的归纳准备条件。因此，归纳为演绎提供 了作为前提的基础，而演绎又指导着并进一步深化着归纳的进行。归纳和演绎就 是这样密切的联系着和相互依赖着，互为条件和互相渗透着。

在认识事物的过程中，应用归纳和演绎这两种思维方法进行推理，所表现出来 的思维形式，我们分别称为归纳推理和演绎推理，也常称为归纳法和演绎法，下面 我们将分别阐述。 13．2 归纳方法

13．2．1 归纳推理及其分类

归纳推理是以某些个别的和特殊的判断为前提，推出一个作为结论的一般性 判断的推理形式。

例1 三角形三内角和等于多少? (i)单称判断(个别的判断)

锐角三角形三内角和等于180。，

直角三角形三内角和等于180。， 钝角三角形三内角和等于180。。 (ii)特称判断(特殊的判断)

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形构成三角形全体。 (iii)全称判断(一般的判断)

三角形内角和等于180。

例2考察由下列公式给出的数的性质。 ／?(聆)=即。一胛+41(刀∈Ⅳ) 设胛=1，厂(1)=41(质数) 设胛=2，厂(2)=43(质数) 设胛=3，厂(3)=47(质数)

结论：由厂(行)=\。一船+4l(，z∈Ⅳ)给出的数是质数。

例1说明归纳是推理的一种特殊形式；例2则说明归纳常常需要通过试验和 观察来得到一些个别的和特殊的判断，以作为归纳的前提。因此，试验与观察是 归纳的基础，而归纳则成为人们探索和发现真理的主要工具。

对于归纳(以及类比)推理在从事数学创造性科学研究活动过程中的作用，

我国数学家徐利治用图13．1作出很好的阐述。比如被誉为数学皇冠上的明珠的哥 德巴赫猜想的提出和证明就经历了这么一个过程：

1742年，德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察，如

15。3+5+7，21=3+7+ll，77=7+17+53，46l=5+7+449，……，通过思考、分析而归 纳得到一个猜想：任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。他把这个猜想 告诉瑞士数学家欧拉，欧拉在肯定他的猜想的同时，进行新的试验和观察，经过 分析而归纳出一个更简明的命题：任何大于2的大偶数都可以表示为两个质数之 和。比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，……，这个命题可以推出前一个命题， 然而它们还只是根据有限个个别的试验和判断所归纳得到的命题，还没有经过严 格的证明，还只能称为猜想。这个猜想被简记为：大偶数=(1+】)。它吸引了许多 数学家的注意，从哥德巴赫和欧拉开始至今，许多数学家前赴后继，努力攻克这 一世界性的数学难题，但遇到的困难仍很大。我国数学家陈景润于1973年证明了 “每一个充分大的偶数都可以表示为二个质数及不超过两个质数乘积之和。”简记 为：大偶数=(1+2)。他的研究成果是目前世界上攻克这一难题的最好成果，它距 离摘取教学皇冠上的这颗明珠还有非常艰难的一步之遥，而在还没有得到完全的 证明之前，这个命题还只能称作猜想。

为了对归纳推理进行较深入的研究，我们根据归纳过程中的特点，即根据归 纳的前提是考察了一类对象的全体，还是仅仅考察它的部分，把它分为完全归纳 法和不完全归纳法。 13．2．2不完全归纳法

不完全归纳法是以某类对象中个别的或特殊的部分对象具有(或不具有)某种 属性为前提，推出该类事物具有(或不具有)该属性的一般结论的推理方法。 例3考察相邻两个奇数(偶数)的乘积与它们中问的数的关系。 1×3=3(比2。少1) 2×4=3 (比3。少1) 3×5=15 (比4。少1) 4×6=24 (比5。少1)

结论：相邻两个奇数(偶数)的乘积比它们中间的数的平方少1。

例4十七世纪法国著名数学家笛卡尔曾注意到，任意封闭凸多面体的面数、 棱数、顶点数之问有着一定的关系，这种关系表现在表13．1中。 比较表中后两列很容易发现，顶点数与面数之和总比棱数大2。即

矿+F：E十2。这个公式严格证明是由十八世纪最著名的数学家欧拉给出的，称 之为欧拉公式。 例5加法运算定律

观察l l 37+357=494 357+137=494

比较 137+357=357+137(异中求同) 观察2 18+17 O 17+18(比较) 124+235 o 235+124(比较)

思考上面的每组算式有什么共同点?

分析都是两个数相加，加数的位置互相交换。 从上面的算式，可以发现什么规律? 归纳它们的和保持不变。

结论(加法交换律)：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即 口+6=6+口

不完全归纳法的结构式是： S1是(不是)尸 &是(不是)尸

S是(不是)P(S1，&，…，品是S类的部分对象) 所以S是(不是)尸。

不完全归纳法由于没有(或无法)穷举考察对象的全体，因此它的结论带有 猜想的性质，属于似真推理(即当前提为真时仅可能为真)。它的正确性必须经过 严格的证明。例3、例4和例5我们都可以证明它是真的，而前节的例2，当聆：41 时，／(41)=41。一41+4l=4l。，这是一个合数，因而原来的结论是错误的。对不 完全归纳法所得结论具有猜想性，我国著名数学家华罗庚作过如下生动的说明： 从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第 四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们会出现一种猜想，是不是这个袋里的东 西全部都是红玻璃球?但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想 失败了。这时，我们会出现另一个猜想：是不是袋里的东西全部都是玻璃球?但是， 当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了。那时，我们会出现第 三个猜想：是不是袋里的东西都是球?这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要 把袋里的东西全部摸出来，才能见分晓。

虽然不完全归纳法属于“似真推理”，它的结论带有猜想性，然而它在科学研 究、数学发展以及数学教学中，却有着非凡的积极的作用。这是因为由似真推理 所得到的猜想，往往意味着发现与创新，所以法国著名的数学家拉普拉斯就说：“甚 至在数学里发现真理的主要工具也是归纳和类比。”而高斯则说：“一旦抓住真理， 补行证明仅仅是时间问题。”当然，为了提高猜想的真确性，或者说为了更合理的 猜想，在运用不完全归纳法时还应当注意更多地考察被归纳的对象，一类对象中 被考察的个别对象越多，范围越广，结沦的可靠性越大；另一方面，对于不完全 归纳推得的结论，还应通过逆向思维，尽量搜集能否定自己猜想的反例，这样将 使我们对猜想的正确性有更深刻的认识。 13．2．3完全归纳法

完全归纳法是根据某类事物对象中每一个别对象或每一个子类情况都具有 (或都不具有)某种属性，概括出该类事物具有(或不具有)该属性的“?般性结 论的推理方法。如

例6证明自然数的平方的末位数不是2。

我们根据自然数末位数字的不同将自然数集分为十个子集，然后找出每一类 子集里的自然数的平方的末位数字，列表如表13．2。 从表中容易得到自然数的平方的末位数不是2。 完全归纳法的结构式如下： x，是(不是)P S是(是)尸 Z是(不是)P S是(是)P

以是(不是)Jp 只是(不是)尸

完全归纳法是考察了某类事物的每个对象或每一特殊(子类)情况，然后得

出的?般性结论。因此，只要前提是真的，那么结论也是真实的。所以完全归纳 推理是…种必然推理。

13．2．4完全归纳法的作用

完全归纳法是认识客观世界，获取知识的方法。完全归纳法是从特殊到一般 的推珊，因为它是南对个别事物的认识上升到对一类事物的认识，由对局部的认 以上升?到刈?雅体的认识，凶而仗我们认识事物前进了一步。例如通过对三类三角 肜l，J勺逐一一考察，概括三角形的…。般性质：三角形的三条高交于一点，从而使我们

对j角形的认识提高了一步。

完全归纳法也是说明问题和证明问题的方法。

例7证明一个自然数的个位数字是0或5，那么这个自然数能被5整除。 证明 因为任何自然数可以表示为Ⅳ=10A+6(其中b是个位数，A是个位 以前的数字组成的数)。

当b=0时，N=10A能被5整除， 当时6=5时，1Ⅳ=10A+5能被5整除。

由此证明一个正整数当个位数字为0或5时，能被5整除。 例7就是运用完全归纳法来说明、证明问题。

完全归纳法思考问题的原则是面面俱到，周详缜密，这有助于发展思维的全 面性，培养缜密思考问题的习惯和能力。 运用完全归纳法应当注意以下几点：

第 ，为使完全归纳推理的结论真实，应当注意完全归纳推理的每一个个别 性前提的真实可靠。

第二，完全归纳推理的前提必须是对一类对象全体所做的无遗漏的考察。 第三，完全归纳推理考察的对象是有限个或有限个子类，而且用已有的手段 是可以逐一进行考察的。例如，英国数学家格斯里于1852年提出了“四色定理”。 这个定理是在地图上要把所有的地区按照海洋和陆地上的不同国属，用多种颜色 加以区别，使相邻的两个地区有不同的颜色，只需四种颜色就可以满足要求。要 证明这一定理，须穷举一切可能，这就要研究2000多个组合构形，进行200亿次 判断。由于当时研究手段的限制，进行这种完全归纳式的证明是不可能的。计算 机发明以后，1976年，美国数学家阿沛尔和哈肯用高速计算机运算1200个小时， 终于证明了这一定理。

13．2．5 在数学教学中注意培养学生的归纳能力