【全国大学生数学竞赛真题试卷】2016年01-试题-第八届全国初赛-数学类试卷

2016年第八届全国大学生数学竞赛初赛

（数学类）试卷

一、(本题15分)设S是空间中的一个椭球面. 设方向为常向量V的一束平行光照射S，其中部分光线与S相切，它们的切点在S上形成一条曲线?. 证明：?落在一张过椭球中心的平面上。

二、(本题15分)设n为奇数，A,B为两个实n阶方阵，且BA?0.记A?JA的特征值集合为S1，B?JB的特征值集合为S2，其中JA,JB分别表示A,B的Jordan标准型. 求证：0?S1?S2.

三、(本题20分)设A1,?,A2017为2016阶实方阵. 证明关于x1,?,x2017的方程

det?x1A1???x2017A2017??0

1

至少有一组非零实数解，其中det表示行列式.

?四、(本题20分)设f0?x?,f1?x?是?满足?f0?x?dx???0,1??上正连续函数，0

设fn?1x?

?0f1?x?dx.

1

??fn?x??fn?1?x?1

2

2fn?x?,n?1,2,?.

求证：数列an?

?0fn?x?dx,n?1,2,?单调递增且收敛.

??f??x??f??x?,x?[0,??). (1)

五、(本题15分)设??1. 求证：不存在[0,??)上的正可导函数fx满足

六、(本题15分)设fx,gx是?0,1?区间上的单调递增函数，满足

????

????0?f?x?,g?x??1,?f?x?dx?

0

1

?0g?x?dx.

1

求证：

?0

1

1

f?x??g?x?dx?.

2

1