类型六 二次函数与三角形相似问题
例1、如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y??．．．
12x?x） 4⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】解:⑴由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?1 ∵抛物线过原点， ∴0?a(0?2)2?1 ∴a??图1 例1题图
图2 OyABxOyABx1. 411抛物线的解析式为y??(x?2)2?1,即y??x2?x
44∥OB, ⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD＝
yAxBO12由0??(x?2)?1得x1?0,x2?4,
4∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6
C1图1 将x＝6代入y??(x?2)2?1,得y＝－3,
4∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
1
D若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP的解析式为y??1x 2yAOA'BEx11由?x??x2?x,
24得x1?0,x2?6
.∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝13≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.
图2 P3)E?例2、已知抛物线y?ax?bx?c经过P(3，，2?53?0?0)．
?2，?及原点O(0，??2253x?x） 33（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为y??．．．
（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于
B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与
△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形
△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？
【答案】解：（1）由已知可得：
yCOPBQAEx 2
?3a?3b?3?25353?75a??，b?，c?0． 解之得，a?b?0?332?4?c?0?因而得，抛物线的解析式为：y??（2）存在．
设Q点的坐标为(m，n)，则n??2253x?x． 332253m?m， 332533?m2?mm?3BQPB3?nm?333?要使△OCP∽△PBQ,，则有，即 ??3CPOC333解之得，m1?23，m2?2．
当m1?23时，n?2，即为Q点，所以得Q(23，2)
2533?m2?mm?3BQPB3?nm?333?要使△OCP∽△QBP,，则有，即 ??3OCCP333解之得，m1?33，m2?3，当m?3时，即为P点， 当m1?33时，n??3，所以得Q(33，?3)． 故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．
Q点的坐标为(23，，2)(33，?3)．
（3）在Rt△OCP中，因为tan?COP?CP3o?．所以?COP?30． OC3o当Q点的坐标为(23，2)时，?BPQ??COP?30． 所以?OPQ??OCP??B??QAO?90．
o△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形． 因此，△OPC，又在Rt△OAQ中，因为tan?QOA?
QA3o?．所以?QOA?30． AO33
即有?POQ??QOA??QPB??COP?30． 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA， 又因为QP⊥OP，QA⊥OA?POQ??AOQ?30， 所以△OQA≌△OQP．
例3、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE?55，且tan?EDA?（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）△OCD与△ADE相似。 理由如下：
由折叠知，?CDE??B?90°，
C O E C y B oo3。 4A x y B 3 E ??2??3. ∴?1??2?90°，Q?1??3?90o，又∵?COD??DAE?90°，
1 O 图1
∴△OCD∽△ADE。
（2）∵tan?EDA?则AD=4t。
由勾股定理得DE=5t。
y l C
2 D A x AE3?，∴设AE=3t， AD4∴OC?AB?AE?EB?AE?DE?3t?5t?8t。
N M G E O D A B 4 P x 由（1）△OCD∽△ADE，得
OCCD， ?ADDE∴8tCD， ?4t5t∴CD?10t。
在△DCE中，∵CD?DE?CE，
222∴(10t)2?(5t)2?(55)2，解得t=1。
， ∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8）点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b，
1??10k?b?3，?k??，解得?∴?2
b?8，???b?8，1∴y??x?8，则点P的坐标为（16，0）。
2（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12， y=2x－12。
如图2：准确画出两条直线。
例4、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴交于
23)和，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，A，B两点（点A在点B的左边）
(?3，?12)．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为y??x?2x?3） ．．．（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A(?1，，0)B(3，0),C(0，3)
（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角，并写出此时点P的横坐标xp的取值范围． ?PCO与?ACO的大小（不必证明）
x
2l 5 C
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