第十节 组合论方法(计数法、抽屉法、图论方法)
1、有27支小足球队参加足球比赛,
(1) 如果每两队比赛一场(即进行单循环比赛),需要比赛多少场? (2) 如果进行淘汰赛最后决出冠军,共需比赛多少场?
【解】(1)∵27支小足球队参加足球比赛
∴第一支足球队比完26场,第二支还需比25场,第三支比24场……以此类推下去,即需要比赛26+25+24+…
(26?1)?26+1==351(场)
2(2)每比赛一场球赛就会淘汰一支足球队,所以进行淘汰赛最后决
出冠军,共需比赛27-1=26场
2、47人参加一次数学竞赛,比赛共有三道题,结果30人做对了第一道题,11人做对了第二道题,7人做对第三道题.做对了第一、二题的有3人,.做对了第一、三题的有5人,.做对了第二、三题的有4人,全部做错的人数在8~10之间,试求三道题都做对的人数. 【解】
第一道 30 3 11 第二道 5 4 7 8~10
第三道 全部做错
∵全部做错的人数在8~10之间 47-8=39,47-10=37
∴做对题的人数:47-8=39,47-10=37在37~39之间
除全部做错和全部做对外的人数:30+11+7-3-5-4=36(人)
则三道题都做对的人数:37-36=1(人)或38-36=2(人)或39-36=3(人) 2、求证:任给四个两两不等的整数,其中必有两个数,它们的差是3的倍数. 【解】一个数除以3后的余数有三种情况:0或1或2
四个两两不等的整数除以3,其中必有两个余数相同,那么余数相同
的两个整数的差必是3的倍数,得证.
3、从1,3,5,…,29,31这16个奇数中,任取9个数,证明:其中一定有两个数之和是32
【证明】把1,3,5,…,29,31这16个奇数分成8个集合,{1,31}、{3,
29}、{5,27}、{7,25}、{9,23}、{11,21}、{13,19}、{15,17}
在8个集合中各取1个数,共取了8个数,如果再取1个数必在8
个集合中,即取9个数,其中一定有两个数在同一集合中,之和为32,得证.
4、有红、白、黑三种颜色的球各10个混合放在一个袋子里,从中至少要摸出多少个球,才能保证摸出的球中有两对颜色不同的球.
【解】从最不利的情况考虑,开始摸出的10个球都是红球,接着摸出1个白
球与1个黑球,在这种情况下要保证摸出的球中有两对颜色不同的球,还得再摸1个球,即至少要摸出10+1+1+1=13个球
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