诚信书
本人所呈交的本科毕业论文是在指导教师的指导下独立完成的研究成果。本人郑重声明除文中已明确注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，没有从他人文献中抄袭的现象。本人完全意识到本声明意味着本人毕业论文的原创性，如经查证有抄袭事实，同意承担由此导致的一切后果。
本人签名：
年 月 日
摘 要
众所周知，经典的三角函数与双曲函数不仅在数学学科中有着非常重要的作用，而且在物理学、工程技术等其它学科中都有广泛的应用。1995年，Lindqvist给出了带p的广义三角函数sinpx、cospx、tanpx以及广义双曲函数
sinphx、cosphx、tanphx的定义后，吸引了很多感兴趣的学者研究。
带有一个参数的广义三角函数sinpx、cospx、tanpx广义双曲函数sinhpx、
coshpx、tanhpx及其反函数arcsinpx、arc cospx、arctanpx的研究是国内外最近发展起来的新课题。当p?2时，这些函数即为基本初等三角函数。
本文主要介绍带有单参数p的广义三角函数sinpx,cospx,tanpx,以及广义
双曲函数sinhpx，coshpx，tanhpx的一些分析性质，并用极其简单的方法解决了文献[6]中提出的一个公开问题。同时获得了一些单参数p的广义三角函数
sinpx,tanpx以及广义双曲函数sinhpx的Wilker型不等式以及Huygens型不等式，这些不等式大大推广了文献[11]的一些结果。最后利用了H?lder不等式推广了Mitrinovi?-Adamovi?不等式以及Lazarevi?不等式。
本论文的研究内容紧密联系国际数学界所关注的前沿和热点问题，研究成果进一步完善了广义三角函数理论，同时也为与之密切相关的特殊函数如Gauss超几何函数提供了理论基础。
关键词：广义三角函数；广义双曲函数；不等式
Abstract
It is well known that the classical trigonometric and hyperbolic function play a very important role in several mathematical branches as well as in engineering and physics. The
generalized
trigonometricsinpx、cospx、tanpxand
hyperbolic
functionssinhpx、coshpx、tanhpxdepending on one parameter p?1were studied
by P. Lindqvist in 1995. Later on numerous authors have extended this work in various directions.
Recently the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter with their inverse functions have attracted attentions of researchers at home and abroad. For the case whenp?2, these functions coincide with elementary functions.
The main research contents and expected results of this paper are as follows: The analytic properties for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter will be introduced. Meanwhile, the conjecture posed by the experts in [6] will be solved by using the extremely simple method. And some classical inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters, such as Wilker-type inequality and Huygens-type inequalities are generalized. The Mitrinovi?-Adamovi? inequality and the Lazarevi? inequality of generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters have been extended.
The contents of the research are closely related to the hot issues of the world’s mathematics.The research results can further perfect the theory of hypergeometric function. At the same time, the research results provide theoretical basis for studying the spacial functions which are closely related them such as the Gaussian hypergeometric function.
Key words:generalized trigonometric functions; generalized hyperbolic fun
ctions; inequalities
目 录
摘 要 Abstract
第1章 引言......................................................... 1
1.1 三角函数的发展及应用 .................................................. 1 1.2 广义三角函数和广义双曲函数在国内外的研究现状 ........................... 1 1.3 研究方法分析 .......................................................... 3
第2章 定义......................................................... 4
2.1 广义三角函数及反三角函数的定义和基本公式 ............................... 4 2.2 广义双曲函数及反双曲函数的定义及基本公式 ............................... 6 2.3利用超几何函数定义广义三角函数与广义双曲函数 ........................... 8
第3章 不等式性质................................................... 9
3.1 Huygens-type不等式 ..................................................... 9 3.2 Turán不等式 .......................................................... 10 3.3 Wilker不等式 ......................................................... 10 3.4 与均值性质相关不等式 ................................................. 11
第4章 引理........................................................ 12 第5章 主要结果.................................................... 14 第6章 结论........................................................ 18 参考文献........................................................... 21 致 谢............................................................. 23
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