带电粒子在电磁场中的运动-----教师版
一 带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
1．圆心的确定
(1)已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)。
(2)已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射
点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)。
(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动： ①直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。 ②平行边界(存在临界条件，如图所示)。
③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。 2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动
1
ααl
时间可由下式表示：t＝T(或t＝T)，t＝v(l为弧长)。
360°2π
直线边界(进出磁场具有对称性)：[典例1] 如图—所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，
磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比
q。 m【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。
【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得： Rsin??1L 22
mv0 带电粒子在磁场中作圆周运动，由 qv0B?
R 解得R?mv0 qB 联立解得
q2v0sin?? mLB针对练习：质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是( )
A．M带负电，N带正电 B．M的速率小于N的速率 C．洛伦兹力对M、N做正功 D．M的运行时间大于N的运行时间
解析：选A 根据左手定则可知N带正电，M带负电，A正确；因为r＝，而M的半径大于N的半径，所以M的速率大于N的速率，B错；洛伦兹力永不做功，所以C错；M和Nπm的运行时间都为t＝，所以D错。
mvBqBq平行边界(存在临界条件)：[典例2] 如图，长为L间距为d的水平两极板间，有垂直于纸面
向里的匀强磁场，磁感强度为B，两板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v应满足什么条件．
解析：如图，设粒子以速率v1运动时，粒子正好打在左极板边缘（图中轨迹１），则其
vdBqd圆轨迹半径为R1?，又由Bqv1?m1得v1?，则粒子入射速率小于v144mR1
2
2o?2R2v1o1??1???d?2????Lv2
时可不打在板上．
设粒子以速率v2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），由图可得
R22vd24L2?d2?L?(R2?)，则其圆轨迹半径为R2?，又由Bq2v?m2得
24dR222Bq(4L2?d2)v2?，则粒子入射速率大于v2时可不打在板上．
4mdBqdBq(4L2?d2)综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：v?或v?．
4m4md针对练习：长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁
感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒O 子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒r子不打在极板上，可采用的办法是： l A．使粒子的速度V
D．使粒子速度BqL/4m 解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得： 粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4， 又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4m ∴V2 V l 圆形边界(沿径向射入必沿径向射出)：[典例3]如图所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸 面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求： (1)电子在磁场中运动轨迹的半径R； (2)电子在磁场中运动的时间t； (3)圆形磁场区域的半径r。 [审题指导]第一步：抓关键点 关键点 一束电子沿圆形区域的直径方向射入 运动方向与原入射方向成θ角 获取信息 沿半径方向入射，一定会沿半径方向射出 θ为偏向角等于轨道圆弧所对圆心角 3 第二步：找突破口 (1)要求轨迹半径→应根据洛伦兹力提供向心力求解。 (2)要求运动时间→可根据t＝ θ T，先求周期T。 2π (3)要求圆形磁场区域的半径→可根据几何关系求解。 mv2mv [解析] (1)由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得evB＝解得R＝。 ReB2πR2πm (2)设电子做匀速圆周运动的周期为T，则T＝v＝ eBθmθ 由如图所示的几何关系得圆心角α＝θ，所以t＝T＝。 2πeBθr (3)由如图所示几何关系可知，tan＝， 2R mvθmvmvθmθ 所以r＝tan。[答案] (1) (2) (3)tan eB2eBeBeB2 [针对训练] 1．(全国卷Ⅰ)如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场(未画出)。一带电粒子从紧贴铝板上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O。已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变。不计重力。铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( ) A．2 B.2 C．1 D.2 2 解析：选D 根据题图中的几何关系及带电粒子在匀强磁场中的运动性质可知：带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨道半径r1是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨道半径r2mv2mv12mEk1 的2倍。设粒子在P点的速度为v1，根据牛顿第二定律可得qv1B1＝，则B1＝＝； r1qr1qr1mv2 同理，B2＝＝qr2 12m·Ek 2B12 ，则＝，D正确，A、B、C错误。 qr2B22 二 带电粒子在复合中的场运动 1． 带电粒子在电场中常见的运动类型 1212 (1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv－mv0来求v.对于匀强电场，电场力 22做功也可以用W＝qEd求解． (2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动分解的办法来处理． 2． 带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型 4
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