2019年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷(解析版)

∴∴

， ．

或

．

综上所述：

（3）分两种情况： ①当0≤t＜5时（如图1），∵△OMN∽△OAC， ∴

，即

，

．

∴（0≤t＜5）；

②当5≤t≤10时，过点M作MT⊥x轴于T，如图4所示： 由△BMN∽△AME可知，MT＝（t﹣5）， ∴S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝

；

综上所述：S＝；

∴当t＝5时，S最大值＝10．

【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、坐标与图形性质、二次函数的最值问题等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）和（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．

28．【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．

（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确

定a的值即可；

（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3 ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0），

如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC， ∴

＝

，

∵CD＝4AC， ∴

＝

＝4，

∵OA＝1， ∴OF＝4，

∴D点的横坐标为4，

代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a， ∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y＝kx+b得解得

，

，

∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．

（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，

设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）． ∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a， 由

得x＝﹣1或x＝4，

即点D的横坐标为4，

∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+∴△ADE的面积的最大值为∴

a＝

，

a，

a．

解得：a＝．

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣．

（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）． ∵y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴抛物线的对称轴为x＝1， 设P（1，m），

①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ， 则Q（﹣4，21a），

m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ为矩形， ∴∠ADP＝90°， ∴AD2+PD2＝AP2，