(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习压轴大题抢分专练(一)

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x2y2

1.已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，P，Qab为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ的中点，线段

PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B(线段PQ不垂直x轴)，当Q运

动到椭圆的右顶点时，|PF|＝

2. 2

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．

解：(1)由题意知，当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，

b22

则|PF|＝＝，

a2

又c＝1，∴a＝2，b＝1. ∴椭圆M的标准方程为＋y＝1.

2

(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，联立椭圆方程得(2k＋1)x＋4kbx＋2(b－1)＝0，

则Δ＝8(2k－b＋1)>0，①

设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，

2

2

2

2

2

x2

2

??

由根与系数的关系得?－4kbx＋x＝>0， ③??2k＋1

1

2

2

b2－x1x2＝>0， ②2

2k＋1

2b∴y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝2，

2k＋1

b2－2k2

y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝2，

2k＋1

―→―→

由PF·QF＝0?(1－x1)(1－x2)＋y1y2＝0， 得3b－1＋4kb＝0，④ 点C?

2

?－22kb，2b?，

?

?2k＋12k＋1?

- 1 -

∴线段PQ的中垂线AB的方程为

y－

2kb?1?＝－?x＋2?. 2k＋1k?2k＋1?

b2

kb－b－分别令x＝0，y＝0可得A???2k2＋1，0???，B???0，2k2＋1???

，

显然A为BC的中点， ∴

S△BCF＝2S△ABF＝2|AF|

－xAS|AO|

＝＝2?△ABOS△ABOx?1?x－1?A??

， A2

由④式得k＝1－3b4b，

4

2

则x－kb6b－2bA＝2k2＋1＝9b4＋2b2

＋1

， S42

△BCFS＝2?△ABO?1?x－1?6b＋8b＋25A??＝6b4－2b2＝3

， 得b2＝3(b2

＝－6舍去)，

∴b＝3，k＝－233或b＝－3，k＝233.

经检验，满足条件①②③，

故直线PQ的方程为y＝－2323

3x＋3或y＝3x－3.

2．正项数列{a2

2

n}满足an＋an＝3an＋1＋2an＋1，a1＝1. (1)求a2的值；

(2)证明：对任意的n∈N*，an<2an＋1；

(3)记数列{aS*,

1n}的前n项和为n，证明：对任意的n∈N2－2n－1≤Sn<3.

解：(1)将n＝1代入题中条件得a2

2

1＋a1＝3a2＋2a2＝2及a2>0， 所以a－1

2＝

73

. (2)证明：由a2

2

2a2n＋an＝3an＋1＋n＋1<4an＋1＋2an＋1 ＝(2a2

n＋1)＋2an＋1，

又因为二次函数y＝x2

＋x在x∈(0，＋∞)上单调递增， 故对任意n∈N*

，an<2an＋1. (3)证明：由(2)知，当n≥2时，

an1an－11aa>，>，…，2>1， n－12an－22a12

由上面(n－1)个式子相乘得a11

n>2n－1a1＝2

n－1，

- 2 -

又a1＝

12

1－1

＝1，

所以a1

n≥2n－1，

故Sn＝a1＋a2＋…＋an ≥1＋112＋…＋2n－1 ＝2－1

2

n－1，

另一方面，由于a2

n＋an＝3a2

2

2

n＋1＋2an＋1>2an＋1＋2an＋1＝2(an＋1＋an＋1)，令a2

n＋an＝bn，则bn>2bn＋1， 于是

bn1bn－11b21b<，<，…，<， n－12bn－22b12

由上面(n－1)个式子相乘得b11n≤2n－1b1＝2n－2，

即a2

1n＋an＝bn≤2n－2，

故Sn＝a1＋(a2＋…＋an) <1＋???1＋1

2＋…＋12n－2???

＝3－1

2

n－2<3. 所以对任意的n∈N*,

2－12

n－1≤Sn<3.

- 3 -