高中数学必修一、必修四、必修五知识点

高中数学必修一、必修四、必修五知识点

一、知识点梳理

必修一第一单元

1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合. 2.特征：确定性、互异性、无序性.

3.表示法：列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形} 4.常用的数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*. 5.集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合

2

(3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝

5.关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝. 6.集合的运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合；表示为：A?B

数学表达式：A?B?xx?A且x?B 性质：A?A?A,A????,A?B?B?A （2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合；表示为：A?B

数学表达式：A?B?xx?A或x?B 性质：A?A?A,A???A,A?B?B?A （3）补集：已知全集I，集合A?I，由所有属于I且不属于A的元素组成的集合。表示：CIA 数学表达式：CIA?xx?I且x?A 方法：韦恩示意图, 数轴分析.

注意：① 区别∈与、与?、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A?B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.

③若集合A中有n(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是2?2。

④空集是指不含任何元素的集合。{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况。

⑤符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

8.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.

①．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

n??????nn(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ②．求函数的值域的方法 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

9.两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则（与表示自变量和函数值的字母无关）都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

10.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集. 11.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法

12.函数的单调性(局部性质) （1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

时，都有f(x1)

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)

单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f(x1)－f(x2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○

(B)图象法(从图象上看升降)

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并

集.

8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函

数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－○

f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于

原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有

最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有

最小值f(b)；

13．一些有用的结论：

(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同； (2)偶函数在其对称区间上的单调性相反； (3)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0 15. 复合函数

(1).复合函数：若y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

(2).复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域?a,b?，其复合函数f?g(x)?的定义域应由a?g(x)?b解出 (3).复合函数y?f?g(x)?在公共定义域上的单调性： ①若f与g的单调性相同，则f?g(x)?为增函数； ②若f与g的单调性相反，则f?g(x)?为减函数。

简记为“同增异减” 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

必修一第二单元

1．根式的概念:一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N．

*

n 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号na表示．

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a>0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0?0． 结论：当n是奇数时，nan?a 当n是偶数时，nan?|a|??2．分数指数幂 规定：a a?mn?a(a?0)

?a(a?0)?mn?nam(a?0,m,n?N*,n?1) 1mn??1naam(a?0,m,n?N*,n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）a·a?arrrrr?s

(a?0,r,s?Q)； （2）(ar)s?ars (a?0,b?0,r?Q)．

?

(a?0,r,s?Q)；

（3）(ab)?aa

s一般地，无理数指数幂a(a?0,?是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

4.一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

5.指数函数的性质

图象特征 函数性质 xa?1 0?a?1 a?1 0?a?1 函数的定义域为R 非奇非偶函数 函数的值域为R +向x、y轴正负方向无限延伸 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都在x轴上方 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 a0?1 增函数 减函数