河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试（理数）

河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A?{y|y?2,x?0}，B?{x|y?log2(x?2)}，则AA．[0,1) B．(1,2) C．(1,2] D．[2,??) 2.已知复数z满足(1?3i)z?1?i，则复平面内与复数z对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知函数f(x)?sinx?cosx，则下列说法正确的是

A．f(x)的最小正周期为2? B．f(x)的最大值为2 C．f(x)的图像关于y轴对称 D．f(x)在区间[44x(eRB)?

??,]上单调递减 424.已知等比数列{an}中，有a3a11?4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7?a7，则S13?

A．26 B．52 C.78 D．104

5.已知直线m，n和平面?，n??，则“m∥n”是“m∥?”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为

A．16??

B．16?4? C.32?2? D．64?4?

x?1??e,x?2,7.已知函数f(x)??若f(a)?1，则a的取值范围是 2??log3(x?1),x?2,A．[1,2) B．[1,??) C.[2,??) D．(??,?2][1,??)

1

?2x?y?2,y?8.若x，y满足约束条件?y?x?2,则的取值范围为

x?2?x?2?0,?A．[?111,1] B．(??,?][1,??) C. [0,1] D．[,1] 22211，an?1?1?，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出

an29.已知数列{an}中，a1?的是2，则判断框内的条件不可能是

A．n?2012 B．n?2015 C.n?2017 D．n?2018 10.已知?ABC的内角A?

?3，AB?6，AC?4，O为?ABC所在平面上一点，且满足

OA?OB?OC，设AO?mAB?nAC，则m?n的值为

A．

117 B．1 C. D．2 1818x2y211.已知P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲

ab线的左、右焦点，|F1F2|?12，直线PF2的斜率为?43，?PF1F2的面积为243，则双曲线的离心率为

A．3 B．2 C.3 D．2

12.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能

够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A．(0,16332383] C.(0,] D．(0,] ] B．(0,273327第Ⅱ卷

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本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.(1?x)的展开式中，x的系数等于 ．

14.已知向量a?(1,3)，b?(3,m)，且b在a方向上的投影为-3，则向量a与b的夹角为 ．

15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽炫图”（以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF?2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 ．

103

16.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1?2，

3Sn?(n?m)an，(m?R)，且anbn?n.若存在n?N*，使得??Tn?T2n成立，则实数?的最小值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB?bsinA?c. （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若a?2，求?ABC面积的最大值.

18. 如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE?平面BCE，且AE?1.

（Ⅰ）求证：平面ABCD?平面ABE；

（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二面角A?BF?E所成角的余弦值为请找出点F的位置；若不存在，请说明理由.

6？若存在，4 3

x2y2??1的右焦点重合，19. 已知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点F与椭圆抛物线C432的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求

|AB|的最小值. |MF|

20. 大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示： 分数a 人数 参加自主招生获得通过的概率 95?a?100 85?a?95 75?a?85 25 0.9 50 0.8 100 0.6 60?a?75 50 0.4 a?60 25 0.3 （Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

学习大学先修课程 没有学习大学先修课程 总计 优等生 150 非优等生 总计 250 （Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率. （ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率； （ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.

参考数据： P(K2?k0) 0.15 2.072 0.10 2.706 0．05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 k0

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