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第十章 曲线积分与曲面积分答案
一、选择题
x1．曲线积分??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L?数，且f(0)?0，则f(x)? B
A.
12(e?x?e) B.
x12(e?ex?x) C.
12(e?ex?x) D.0
2．闭曲线C为x?y?1的正向，则?C?ydx?xdyx?y? C
A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x?y?1的正向，则?C22?ydx?xdy4x?y22? D
A.?2? B. 2? C.0 D. ?
2224．?为YOZ平面上y?z?1，则??(x?y?z)ds? D
?22A.0 B. ? C. 5．设C:x?y?a，则
222214? D.
12?
?(xC2?y)ds? C
2A.2?a B. ?a C. 2?a D. 4?a 6. 设?为球面x?y?z?1，则曲面积分???222233dS1?x?y?z1222的值为 [ B ]
A.4? B.2? C.? D.?
27. 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分?yds?[ C ]
LA.
12 B. ?12 C.
22 D. ?222
8. 设I=?则I=[D ]
Lyds 其中L是抛物线y?x上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,
A.
565 B.
5125 C.
55?16 D.
55?112
9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 ?，那么 ? 是（ D ） A.
12?xdx?ydy； B.
12l?ydy?xdx；
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C.
212?ydx?xdy； D.
22212l?xdyl?ydx。
10．设S:x?y?z?R(z?0)，S1为S在第一卦限中部分，则有 C
A.??xds?4??xds B.??yds?4??yds
SS1SS1C.??zds?4??zds D.??xyzds?4??xyzds
SS1SS1
二、填空题
1. 设L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
?Lydx?(ey2?x)dy? -2
2.S为球面x2?y2?z2?a2的外侧,则??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?0
s3.
22x?y?1x?ydx?xdy2?y2 =?2?
4．曲线积分?(x?y)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为2?a
C2235．设∑为上半球面z?4?x?y22?z?0?，则曲面积分??x?y?z2??22?ds= 32π
6. 设曲线C为圆周x?y?1,则曲线积分?22C?x2?y?3x?ds? 2? . 27. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分?8. 设?为上半球面z?4?x?y22(x?y)ds?C1+82 ，则曲面积分???ds1?x?y?z222的值为 ?。
39. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是
S???D1?(?z?x)2?(?z?y)d?
210．设L是抛物线y?x上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分?(2x?4y)dx? L312 11、设?为螺旋线x?cost,y?sint,z?则曲线积分I?3t上相应于t从0到?的一段弧，
2??(x?y?z)ds? 2??1??222? 。
12、设L为x?y?a的正向，则? 专业知识分享
222xdy?ydxLx?y22? 2? 。
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三、计算题 1．?eLx?y22ds，其中L为圆周x?y22?1，直线y?x及x轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA方程y?x,0?x?22，圆弧AB方程??x?cos??y?sin?,0????4
线段OB方程y?0,0?x?1。
2?则原式＝
?OAex?y22ds＋
?ABex?y22ds＋
?OBex?y22ds＝?20e2x2dx＋?40ed?＋?edx
01x＝2(e?1)? 2．?L?4e ＃
x?ydx?y[xy?ln(x?22x?y)]dy，其中L为曲线y?sinx,0?x??与直线
22段y?0,0?x??所围闭区域D的正向边界。 解：利用格林公式，P?
?P?y?yx?y?P?y22x?y22，Q?y[xy?ln(x??y?2x?y)]，则
22，
?Q?xyx?y?22
故原式＝
??D(?Q?x?)dxdy???Dydxdy?2sinx?0dx?ydy＝
21?00?3sinxdx?349 ＃
223．?ydx?xdy，其中L为圆周x?y?R的上半部分，L的方向为逆时针。
L222解：L的参数方程为??22?x?Rcost?y?Rsint，t从0变化到?。
故原式＝?[Rsint(?Rsint)?Rcost(Rcost)]dt
022＝R3??0[(1?cost)(?sint)?(1?sint)cost]dt＝?222243R ＃
34．求抛物面z?x?y被平面z?1所割下的有界部分?的面积。
解：曲面?的方程为z?x?y,(x,y)?D，这里D为?在XOY平面的投影区域
{(x,y)x?y?1}。
2222故所求面积＝??1?zx?zydxdy?D22??D1?4(x?y)dxdy
22 专业知识分享
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2???0d?1?1?4rrdr?0255?16? ＃
222xx5、计算?(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy，其中L为圆(x?a)?y?a(a?0)的上
L半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点O。
解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式
P?(esiny?my)，Q?ecosy?m，
xx?P?yx?ecosy?m，
x?Q?xx?ecosy
x于是?(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy＋
Lxx??(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy
OA＝m??dxdy?Dm?a22
2a0而
??(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy＝?xx0dx?0?0，于是便有
OA
?(eLxsiny?mydx)?e(xcyo?smdy＝)m?a22 ＃
2222222226．?(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz，其中L为球面x?y?z?1在第一
L卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程
?x?0??t，t从变化到0。 ?y?cos2?z?sint?于是
?AB(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz＝??[sint(?sint)?cost(cost)]dt＝
222222202243
由对称性即得
?(yL2?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz?322222?AB(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz?4222222 ＃
7．??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy，其中?为平面x?y?z?1,x?0,y?0,
?z?0所围立体的表面的外侧。
解：记?1为该表面在XOY平面内的部分，?2为该表面在YOZ平面内的部分，
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?3为该表面在XOZ平面内的部分，?4为该表面在平面x?y?z?1内的部分。 ?1的方程为z?0,0?y?1?x,0?x?1，根据定向，我们有
???1(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy＝??(z?1)dxdy＝??1??0?x?10?y?1?xdxdy??12
同理，??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy???21212
???3(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy??
?4的方程为z?1?x?y,0?y?1?x,0?x?1，故
???4(z?1)dxdy???0?x?10?y?1?x(2?x?y)dxdy?23，
由对称性可得
???4(x?1)dydz????4(y?1)dzdx?23，
故
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy?4?2
于是所求积分为2?12?3?12 ＃
x?y8．计算曲面积分：??(x?y?z)dydz?[2y?sin(z?x)]dzdx?(3z?eS?)dxdy，其中
S?为曲面x?y?z?1的外侧。
(1?2?3)dxdydz=68解：利用高斯公式，所求积分等于
???u?v?w?11132=8 ＃
9. 计算I=??xydydz?yzdzdx?xzdxdy，其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立
s体的表面外侧
解：设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass公式得:
I=???(x?y?z)dxdydzV
(x?y?z)dz
=?dx?00 =
1811?xdy?01?x?y ＃
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