高中数学必修2第二章课后习题解答

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新课程标准数学必修2第二章课后习题解答

第二章 点 、直线、平面之间的位置关系 2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 练习（P43） 1、D； 2、（1）不共面的四点可确定4个平面；（2）共点的三条直线可确定1个或3个平面 3、（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 4、（1）A∈α，B?α； （2）M?α，M∈a； （3）a?α a?β 练习（P48） 1、（1）3条。分别是BB’，CC’，DD’. （2）相等或互补 2、（1）∵BC∥B’C’，∴∠B’C’A’是异面直线A’C’与BC所成的角。 在RT△A’B’C’中，A’B’=23，B’C’=23，∴∠B’C’A’=45°.因此，异面直线A’C’与BC所成的角为45°

（2）∵AA’∥BB’，∴∠B’BC’是异面直线AA’与BC’所成的角。在RT△B’BC’中，B’C’=AD=23，BB’=AA=2，∴BC’=4，∠B’BC’=60°.因此，异面直线AA’与BC’所成的角为60° 练习（P49） B

练习（P50）三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条 习题2.1 A组（P51）1、图略 2、图略 3、（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）× 4、（1）?， （2）8， （3）2， （4）平行或在这个平面内， （5）b∥平面α或b与α相交， （6）可能相交，也可能是异面直线。

5、两条平行直线确定一个平面，第三条直线有两点在此平面内，所以它也在这个平面内。于是，这三条直线共面。

6、提示：利用平行关系的传递性证明AA’∥CC’，又利用相等关系的传递性证明AA’=CC’，因此，我们可得平行四边形ACC’A’，然后由平行四边形的性质得AB=A’B’，AC=A’C’，BC=B’C’，因此，△ABC≌△A’B’C’。

7、三条直线两两平行且不共面可以确定三个平面，如果三条直线交于一点则最多可以确定三个平面。

8、正方体各面所在平面分空间27部分。 B组 1、（1）C； （2）D； （3）C.

2、证明：∵AB∩α=P，AB?平面ABC ∴P∈平面ABC，P∈α

∴P在平面ABC与α的交线上，同理可证，Q和R均在这条交线上，∴P，Q，R三点共线 说明：先确定一条直线，在证明其他点也在这条直线上。

3、提示：直线EH和FG相交于点K；由点K∈EH，EH?平面ABD，得K∈平面ABD. 同理可证：点K∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，因此，点K∈直线BD.

即EH，FG，BD三条直线相交于一点。 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 练习（P55） 1、（1）面A’B’C’D’，面CC’D’D； （2）面DD’C’C，面BB’C’C；

（3）面A’D’B’C’，面BB’C’C.

D1C1 2、解：直线BD1∥面AEC，证明如下：连接BD于AC交于点F，连接EF ∵AC、BD为正方形ABCD的对角线

A1B1 ∴F为BD的中点 ∵E为DD1的中点 E ∴EF为△DBD1的中位线

∴EF∥BD1 又∵EF?平面AEC，BD1?平面AEC

D ∴BD1∥平面AEC CF练习（P58） 1、（1）命题不正确 （2）命题正确 AB高中数学

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2、提示：容易证明MN∥EF，NA∥EB，进而可证平面AMN∥平面EFDB 3、D 练习（P61） 1、（1）× （2）× （3）× （4）√ 习题2.2 A组（P61） 1、（1）A；（2）D； （3）C； D2、（1）平行或相交； （2）异面或相交 3、证明：（1）∵E、F分别为BC、CD的中点

∴EF为△BCD的中位线

∴EF∥BD，∵EF?平面EFG，BD?平面EFG ∴BD∥平面EFG

A（2）∵G、F分别为AD、CD的中点

E∴GF为△ACD的中位线

∴GF∥AC，∵GF?平面EFG，AC?平面EFG

B∴AC∥平面EFG

4、在直线a上任取一点P，过P作直线b’，使b’∥b. 则由a与b’两相交直线确定的平面即为所求的平面α 5、证明：连接CD

AC??BD?A,B,C,D共面?C∈α,D∈αGCF???平面ABCD∩α?CD? AB??α?? ?AB??CD?AC??BD?

??ABCD是平行四边形?AC?BD??6、AB?β??AB??CD. 同样可证明AB∥EF，于是CD∥EF. α∩β?CD??7、证明：∵AA’∥BB’，AA’＝BB’ ∴四边形AA’B’B是平行四边形

∴AB∥A’B’，又∵AB?平面A’B’C’，A’B’?平面A’B’C’ ∴AB∥平面A’B’C’， 同理可证BC∥平面A’B’C’ 又∵AB?平面ABC，BC?平面ABC且AB∩BC=B ∴平面ABC∥平面A’B’C’

8、证明：∵在△AOB和△A’OB’中，AO=A’O，∠AOB =∠A’OB’，BO=B’O

∴△AOB≌△A’OB’（SAS） ∴∠ABO =∠A’ B’O ∴AB∥A’B’，又∵AB?平面A’B’C’，A’B’?平面A’B’C’ ∴AB∥平面A’B’C’， 同理可证BC∥平面A’B’C’ 又∵AB?平面ABC，BC?平面ABC且AB∩BC=B ∴平面ABC∥平面A’B’C’

B组 1、过平面VAC内一点P作直线DE∥AC，交VA于D，交VC于E；过平面VBA内一点D作

直线DF∥VB，交AB于F，则DE，DF所确定的截面为所求。理论依据是直线与平面平行的判定定理。

2、证明：设P为b上任意一点，则a与P确定一平面γ. β∩γ=c，c∥a，所以c∥α.

又c与b有公共点P，且c与b不重合（否则a∥b，与已知矛盾），即c与b相交. 由b∥α，可证α∥β 3、连接AF，交β于G，连接BG，EG，则由β∥γ得：

由α∥β，得

AGGF?DEEFABBC?AGGFAB??α

，

ABBC?DEEF

4、正确命题序号是：（1）（2）（4）（5）

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V2．2 直线、平面垂直的判定及其性质

练习（P67） 1、证明：作AC的中点D，连接VD，BD

∵VA=VC. AB=BC，∴△VAC和△ABC是等腰三角形 CD又∵D为底边AC的中点 A∴VD⊥AC，BD⊥AC 又∵VD∩BD=D ∴AC⊥平面VBD

B∵VB?平面VBD 所以 AC⊥VB

2、（1）AB边的中点； （2）点O是△ABC的外心； （3）点O是△ABC的垂心； 3、不一定平行 练习（P69） A 练习（P71） 1、（1）√ （2）√ （3）√ 2、b∥α，或b?α 练习（P73） 1、A 2、C 习题2.2 A组（P73）1、（1）命题不正确 （2）命题正确 2、证明：如图，设α∩γ=l，在平面α内作直线a⊥l.

∵α⊥γ， ∴a⊥γ

过a作一个平面?与平面β相交于直线b 由β∥α，得b∥a，∴b⊥γ 又b?β，∴β⊥γ

3、解：垂直关系，证明如下：

VA⊥AB?VA⊥AC???VA⊥平面ABC?VA⊥BC?BC⊥平面VAB?????平面VAB⊥平面VBC

AB⊥BC?BC?平面VBC?V4、解：取AB中点M，连接VM.CM，

∵VA=VB，且M为底边AB的中点 ∴VM⊥AB ∵CA=CB，且M为底边AB的中点 ∴CM⊥AB

C∴∠VMC为二面角V-AB-C的平面角

A由已知得：VM=CM=VC=1 ∴△VMC是等边三角形

M故∠VMC=60° ∴二面角V-AB-C的平面角的度数为60°

B5、提示：在平面γ内作两条相交直线分别垂直于平面α，β于平面γ的交线， 再利用面面垂直的性质定理证直线l⊥平面γ.

6、已知：a，b，c为两两互相垂直的直线，a，b确定一平面α，a，c确定一平面β，

b，c确定一平面γ

求证：α，β，γ两两互相垂直

证明：∵c⊥a，c⊥b，且a，b是α内两条相交直线

∴c⊥α 又∵c?β ∴α⊥β 同理可证，α⊥γ，β⊥γ

7、90°或45°

8、证明：将m，n确定的平面定义为平面α，

由已知可证：l1⊥α，l2⊥α，∴l1∥l2，因此∠1=∠2

9、已知：a∥b，a∩α=A1，b∩α=B1，?1，?2分别是a，b与α所成角 求证：?1=?2

AB证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面α的 同侧. 且AA1=BB1，连接AB和A1B1. ab∵AA1∥BB1，AA1=BB1，∴四边形AA1 B1B是平行四边形 A2B2∴A B∥A1B1. 又A1B1?α，AB?α， ∴AB∥α θ1θ2设A2，B2分别是平面α的垂线AA2，BB2的垂足， A1B1α连接A1A2，B1B2，则AA2=BB2.

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在RT△AA1A2和RT△BB1B2中，∵AA2=BB2，AA1=BB1， ∴RT△AA1A2≌RT△BB1B2 ∴∠AA1A2≌∠BB1B2，?1=?2

B组 1、证明：∵AA’⊥平面ABCD，∴AA’⊥BD. 又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC’A’，

而BD?平面A’BD，因此，平面ACC’A’⊥平面A’BD

2、提示：由已知条件知：VD⊥AB，VO⊥AB，所以，AB⊥平面VDC，AB⊥CD.

又因为AD=BD，可得AC=BC.

3、提示：参考A组第5题的解法 4、解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角. 由∠ACB是直径上的圆周角，知∠ACB=90°. 因此，平面VAC⊥平面VBC. 由DE是△VAC两边中点连线，知DE∥AC，故DE⊥VC. 由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直.

第二章 复习参考题A组（P78）

1、三个平面将空间分成4或6或7或8个部分

2、解：连结C1E，在上底面过点E作直线l⊥C1E即可

∵CC1⊥底面A1B1C1D1 ∴CC1⊥l，根据作法知l⊥C1E. 又∵C1E∩C1C=C1,， ∴l⊥平面CC1E，因此，l⊥CE

3、已知：直线l1 ，l2 ，l3 ， l1 ∩l2=A，l2 ∩l3=B，l3 ∩l1=C 求证：l1 ，l2 ，l3共面

证明：∵l1 ∩l2=A ∴由公理2可知，l1 ，l2确定一平面α 又∵B∈l2，C∈l1 ∴B∈α，C∈α

而B∈l3，C∈l3（已知） ∴l3?α（公理1） ∴l1 ，l2 ，l3都在α内，即l1 ，l2 ，l3共面 4、（1）如右图，CD∥EF，EF∥AB，CD∥AB. 又CD≠AB，

∴四边形ABCD是梯形 （2）

CαAl1l2l3BEDFCA第4题92a 8B5、证明：连结EE1，FF1，根据已知条件AE∥A1E1且AE=A1E1，AF∥A1F1且AE=A1F1

推出A A1∥E E1且A A1=E E1，A A1∥FF1且A A1=FF1， ∴EE1∥FF1且EE1=FF1

∴四边形EFF1E1是平行四边形，因此EF∥E1F1且EF=E1F1

6、解：设长方形的长、宽、高分别是x，y，z.

x2?y2?a2?12222?22222 y?z?b??x?y?z??a?b?c?

2222?z?x?c?1 长方形的对角线长为2?a2?b2?c2? 27、证明：作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB

取AB中点H，连结VH，则VH⊥AB. ∵VH∩VO=V，∴AB⊥平面VHO ∴∠VHO为二面角V-AB-C的二面角. ∵VH2=VA2-AH2=5-1=4，∴VH=2

而OH?12AB?1，∴∠VHO=60°.

VDAHOCB因此，二面角V-AB-C的二面角为60°

8、因为α∩β=a，γ∩α=b，β∩γ=c，且a∩b=O，

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则O∈b?α，且O∈b?γ，即O∈γ∩α=c，所以a，b，c三线共点 9、解：由图知γ∩α=a，β∩γ=b，α∩β=c，

∵a?β，b?β，a∥b， ∴a∥β.

又∵a?α，a?β，β∩α=c，∴a∥c，∴a∥b∥c. 10、AB⊥CD，证明如下：∵α∩β=AB，∴AB?α，AB?β.

∵PC⊥α，∴PC⊥AB. ∵PD⊥β，∴PD⊥AB. ∵PC∩PD=P，

∴AB⊥平面PCD. ∵CD?平面PCD ∴因此AB⊥CD

B组 1、（1）证明：由折叠前，AD⊥AE，CD⊥CF，

得A’D⊥A’E，A’D⊥A’F 又A’E∩A’F=A’ ∴A’D⊥平面A’EF，∴A’D⊥EF

（2）解：由（1）知：A’D⊥平面A’EF， ∴VA'?EFD=S△A'EFA'D

31由折叠知：A’E=AE=

23322，A’F=CF=，EF=BE+BF=

222过A’作EF的垂线A’H于AB交于H

34?222?1∴A'H=A'E-EH?A'E-?EH?=

42??∴S△A'EF=

121EFA'H=

12?221?3442=1781712

∴VA'?EFD=S△A'EFA'D=?33178?2=

D1B1HC12、证明：（1）连接B1D1，B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，

A1∴DD1⊥A1C1，∵B1D1⊥A1C1，DD1∩B1D1=D1

∴A1C1⊥面D1DB，因此A1C1⊥B1D.

同理可证：B1D⊥A1B，∴B1D⊥平面A1C1B （2）连接A1H，BH，C1H，

由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H

∴点H为△A1BC1的外心. 又△A1BC1是正三角形

A∴点H为△A1BC1的中心，也为△A1BC1的重心

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