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新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
第二章 点 、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 练习(P43) 1、D; 2、(1)不共面的四点可确定4个平面;(2)共点的三条直线可确定1个或3个平面 3、(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 4、(1)A∈α,B?α; (2)M?α,M∈a; (3)a?α a?β 练习(P48) 1、(1)3条。分别是BB’,CC’,DD’. (2)相等或互补 2、(1)∵BC∥B’C’,∴∠B’C’A’是异面直线A’C’与BC所成的角。 在RT△A’B’C’中,A’B’=23,B’C’=23,∴∠B’C’A’=45°.因此,异面直线A’C’与BC所成的角为45°
(2)∵AA’∥BB’,∴∠B’BC’是异面直线AA’与BC’所成的角。在RT△B’BC’中,B’C’=AD=23,BB’=AA=2,∴BC’=4,∠B’BC’=60°.因此,异面直线AA’与BC’所成的角为60° 练习(P49) B
练习(P50)三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条 习题2.1 A组(P51)1、图略 2、图略 3、(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 4、(1)?, (2)8, (3)2, (4)平行或在这个平面内, (5)b∥平面α或b与α相交, (6)可能相交,也可能是异面直线。
5、两条平行直线确定一个平面,第三条直线有两点在此平面内,所以它也在这个平面内。于是,这三条直线共面。
6、提示:利用平行关系的传递性证明AA’∥CC’,又利用相等关系的传递性证明AA’=CC’,因此,我们可得平行四边形ACC’A’,然后由平行四边形的性质得AB=A’B’,AC=A’C’,BC=B’C’,因此,△ABC≌△A’B’C’。
7、三条直线两两平行且不共面可以确定三个平面,如果三条直线交于一点则最多可以确定三个平面。
8、正方体各面所在平面分空间27部分。 B组 1、(1)C; (2)D; (3)C.
2、证明:∵AB∩α=P,AB?平面ABC ∴P∈平面ABC,P∈α
∴P在平面ABC与α的交线上,同理可证,Q和R均在这条交线上,∴P,Q,R三点共线 说明:先确定一条直线,在证明其他点也在这条直线上。
3、提示:直线EH和FG相交于点K;由点K∈EH,EH?平面ABD,得K∈平面ABD. 同理可证:点K∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,因此,点K∈直线BD.
即EH,FG,BD三条直线相交于一点。 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 练习(P55) 1、(1)面A’B’C’D’,面CC’D’D; (2)面DD’C’C,面BB’C’C;
(3)面A’D’B’C’,面BB’C’C.
D1C1 2、解:直线BD1∥面AEC,证明如下:连接BD于AC交于点F,连接EF ∵AC、BD为正方形ABCD的对角线
A1B1 ∴F为BD的中点 ∵E为DD1的中点 E ∴EF为△DBD1的中位线
∴EF∥BD1 又∵EF?平面AEC,BD1?平面AEC
D ∴BD1∥平面AEC CF练习(P58) 1、(1)命题不正确 (2)命题正确 AB高中数学
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2、提示:容易证明MN∥EF,NA∥EB,进而可证平面AMN∥平面EFDB 3、D 练习(P61) 1、(1)× (2)× (3)× (4)√ 习题2.2 A组(P61) 1、(1)A;(2)D; (3)C; D2、(1)平行或相交; (2)异面或相交 3、证明:(1)∵E、F分别为BC、CD的中点
∴EF为△BCD的中位线
∴EF∥BD,∵EF?平面EFG,BD?平面EFG ∴BD∥平面EFG
A(2)∵G、F分别为AD、CD的中点
E∴GF为△ACD的中位线
∴GF∥AC,∵GF?平面EFG,AC?平面EFG
B∴AC∥平面EFG
4、在直线a上任取一点P,过P作直线b’,使b’∥b. 则由a与b’两相交直线确定的平面即为所求的平面α 5、证明:连接CD
AC??BD?A,B,C,D共面?C∈α,D∈αGCF???平面ABCD∩α?CD? AB??α?? ?AB??CD?AC??BD?
??ABCD是平行四边形?AC?BD??6、AB?β??AB??CD. 同样可证明AB∥EF,于是CD∥EF. α∩β?CD??7、证明:∵AA’∥BB’,AA’=BB’ ∴四边形AA’B’B是平行四边形
∴AB∥A’B’,又∵AB?平面A’B’C’,A’B’?平面A’B’C’ ∴AB∥平面A’B’C’, 同理可证BC∥平面A’B’C’ 又∵AB?平面ABC,BC?平面ABC且AB∩BC=B ∴平面ABC∥平面A’B’C’
8、证明:∵在△AOB和△A’OB’中,AO=A’O,∠AOB =∠A’OB’,BO=B’O
∴△AOB≌△A’OB’(SAS) ∴∠ABO =∠A’ B’O ∴AB∥A’B’,又∵AB?平面A’B’C’,A’B’?平面A’B’C’ ∴AB∥平面A’B’C’, 同理可证BC∥平面A’B’C’ 又∵AB?平面ABC,BC?平面ABC且AB∩BC=B ∴平面ABC∥平面A’B’C’
B组 1、过平面VAC内一点P作直线DE∥AC,交VA于D,交VC于E;过平面VBA内一点D作
直线DF∥VB,交AB于F,则DE,DF所确定的截面为所求。理论依据是直线与平面平行的判定定理。
2、证明:设P为b上任意一点,则a与P确定一平面γ. β∩γ=c,c∥a,所以c∥α.
又c与b有公共点P,且c与b不重合(否则a∥b,与已知矛盾),即c与b相交. 由b∥α,可证α∥β 3、连接AF,交β于G,连接BG,EG,则由β∥γ得:
由α∥β,得
AGGF?DEEFABBC?AGGFAB??α
,
ABBC?DEEF
4、正确命题序号是:(1)(2)(4)(5)
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V2.2 直线、平面垂直的判定及其性质
练习(P67) 1、证明:作AC的中点D,连接VD,BD
∵VA=VC. AB=BC,∴△VAC和△ABC是等腰三角形 CD又∵D为底边AC的中点 A∴VD⊥AC,BD⊥AC 又∵VD∩BD=D ∴AC⊥平面VBD
B∵VB?平面VBD 所以 AC⊥VB
2、(1)AB边的中点; (2)点O是△ABC的外心; (3)点O是△ABC的垂心; 3、不一定平行 练习(P69) A 练习(P71) 1、(1)√ (2)√ (3)√ 2、b∥α,或b?α 练习(P73) 1、A 2、C 习题2.2 A组(P73)1、(1)命题不正确 (2)命题正确 2、证明:如图,设α∩γ=l,在平面α内作直线a⊥l.
∵α⊥γ, ∴a⊥γ
过a作一个平面?与平面β相交于直线b 由β∥α,得b∥a,∴b⊥γ 又b?β,∴β⊥γ
3、解:垂直关系,证明如下:
VA⊥AB?VA⊥AC???VA⊥平面ABC?VA⊥BC?BC⊥平面VAB?????平面VAB⊥平面VBC
AB⊥BC?BC?平面VBC?V4、解:取AB中点M,连接VM.CM,
∵VA=VB,且M为底边AB的中点 ∴VM⊥AB ∵CA=CB,且M为底边AB的中点 ∴CM⊥AB
C∴∠VMC为二面角V-AB-C的平面角
A由已知得:VM=CM=VC=1 ∴△VMC是等边三角形
M故∠VMC=60° ∴二面角V-AB-C的平面角的度数为60°
B5、提示:在平面γ内作两条相交直线分别垂直于平面α,β于平面γ的交线, 再利用面面垂直的性质定理证直线l⊥平面γ.
6、已知:a,b,c为两两互相垂直的直线,a,b确定一平面α,a,c确定一平面β,
b,c确定一平面γ
求证:α,β,γ两两互相垂直
证明:∵c⊥a,c⊥b,且a,b是α内两条相交直线
∴c⊥α 又∵c?β ∴α⊥β 同理可证,α⊥γ,β⊥γ
7、90°或45°
8、证明:将m,n确定的平面定义为平面α,
由已知可证:l1⊥α,l2⊥α,∴l1∥l2,因此∠1=∠2
9、已知:a∥b,a∩α=A1,b∩α=B1,?1,?2分别是a,b与α所成角 求证:?1=?2
AB证明:如图,在a,b上分别取点A,B,这两点在平面α的 同侧. 且AA1=BB1,连接AB和A1B1. ab∵AA1∥BB1,AA1=BB1,∴四边形AA1 B1B是平行四边形 A2B2∴A B∥A1B1. 又A1B1?α,AB?α, ∴AB∥α θ1θ2设A2,B2分别是平面α的垂线AA2,BB2的垂足, A1B1α连接A1A2,B1B2,则AA2=BB2.
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在RT△AA1A2和RT△BB1B2中,∵AA2=BB2,AA1=BB1, ∴RT△AA1A2≌RT△BB1B2 ∴∠AA1A2≌∠BB1B2,?1=?2
B组 1、证明:∵AA’⊥平面ABCD,∴AA’⊥BD. 又BD⊥AC,∴BD⊥平面ACC’A’,
而BD?平面A’BD,因此,平面ACC’A’⊥平面A’BD
2、提示:由已知条件知:VD⊥AB,VO⊥AB,所以,AB⊥平面VDC,AB⊥CD.
又因为AD=BD,可得AC=BC.
3、提示:参考A组第5题的解法 4、解:由VC垂直于⊙O所在平面,知VC⊥AC,VC⊥BC,即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角. 由∠ACB是直径上的圆周角,知∠ACB=90°. 因此,平面VAC⊥平面VBC. 由DE是△VAC两边中点连线,知DE∥AC,故DE⊥VC. 由两个平面垂直的性质定理,知直线DE与平面VBC垂直.
第二章 复习参考题A组(P78)
1、三个平面将空间分成4或6或7或8个部分
2、解:连结C1E,在上底面过点E作直线l⊥C1E即可
∵CC1⊥底面A1B1C1D1 ∴CC1⊥l,根据作法知l⊥C1E. 又∵C1E∩C1C=C1,, ∴l⊥平面CC1E,因此,l⊥CE
3、已知:直线l1 ,l2 ,l3 , l1 ∩l2=A,l2 ∩l3=B,l3 ∩l1=C 求证:l1 ,l2 ,l3共面
证明:∵l1 ∩l2=A ∴由公理2可知,l1 ,l2确定一平面α 又∵B∈l2,C∈l1 ∴B∈α,C∈α
而B∈l3,C∈l3(已知) ∴l3?α(公理1) ∴l1 ,l2 ,l3都在α内,即l1 ,l2 ,l3共面 4、(1)如右图,CD∥EF,EF∥AB,CD∥AB. 又CD≠AB,
∴四边形ABCD是梯形 (2)
CαAl1l2l3BEDFCA第4题92a 8B5、证明:连结EE1,FF1,根据已知条件AE∥A1E1且AE=A1E1,AF∥A1F1且AE=A1F1
推出A A1∥E E1且A A1=E E1,A A1∥FF1且A A1=FF1, ∴EE1∥FF1且EE1=FF1
∴四边形EFF1E1是平行四边形,因此EF∥E1F1且EF=E1F1
6、解:设长方形的长、宽、高分别是x,y,z.
x2?y2?a2?12222?22222 y?z?b??x?y?z??a?b?c?
2222?z?x?c?1 长方形的对角线长为2?a2?b2?c2? 27、证明:作VO⊥平面ABCD,垂足为O,则VO⊥AB
取AB中点H,连结VH,则VH⊥AB. ∵VH∩VO=V,∴AB⊥平面VHO ∴∠VHO为二面角V-AB-C的二面角. ∵VH2=VA2-AH2=5-1=4,∴VH=2
而OH?12AB?1,∴∠VHO=60°.
VDAHOCB因此,二面角V-AB-C的二面角为60°
8、因为α∩β=a,γ∩α=b,β∩γ=c,且a∩b=O,
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则O∈b?α,且O∈b?γ,即O∈γ∩α=c,所以a,b,c三线共点 9、解:由图知γ∩α=a,β∩γ=b,α∩β=c,
∵a?β,b?β,a∥b, ∴a∥β.
又∵a?α,a?β,β∩α=c,∴a∥c,∴a∥b∥c. 10、AB⊥CD,证明如下:∵α∩β=AB,∴AB?α,AB?β.
∵PC⊥α,∴PC⊥AB. ∵PD⊥β,∴PD⊥AB. ∵PC∩PD=P,
∴AB⊥平面PCD. ∵CD?平面PCD ∴因此AB⊥CD
B组 1、(1)证明:由折叠前,AD⊥AE,CD⊥CF,
得A’D⊥A’E,A’D⊥A’F 又A’E∩A’F=A’ ∴A’D⊥平面A’EF,∴A’D⊥EF
(2)解:由(1)知:A’D⊥平面A’EF, ∴VA'?EFD=S△A'EFA'D
31由折叠知:A’E=AE=
23322,A’F=CF=,EF=BE+BF=
222过A’作EF的垂线A’H于AB交于H
34?222?1∴A'H=A'E-EH?A'E-?EH?=
42??∴S△A'EF=
121EFA'H=
12?221?3442=1781712
∴VA'?EFD=S△A'EFA'D=?33178?2=
D1B1HC12、证明:(1)连接B1D1,B1D1⊥A1C1,又DD1⊥面A1B1C1D1,
A1∴DD1⊥A1C1,∵B1D1⊥A1C1,DD1∩B1D1=D1
∴A1C1⊥面D1DB,因此A1C1⊥B1D.
同理可证:B1D⊥A1B,∴B1D⊥平面A1C1B (2)连接A1H,BH,C1H,
由A1B1=BB1=C1B1,得A1H=BH=C1H
∴点H为△A1BC1的外心. 又△A1BC1是正三角形
A∴点H为△A1BC1的中心,也为△A1BC1的重心
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