山西省实验中学2018届高三上学期学业质量监测数学(理)试题含答案

P?x2?k? k 0.05 3.841 0.01 6.635 20. 已知圆M:x2?y2?r2(r?0)与直线l:x?3y?4?0相切，设点A为圆上一动点，????????AB?x轴于B，且动点N满足AB?2NB，设动点N的轨迹为曲线C.

（Ⅰ)求曲线C的方程；

（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P,Q两点，求?OPQ面积的最大值. 21. 设函数f(x)?(1?mx)ln(1?x).

（Ⅰ）若当0?x?1时，函数f(x)的图像恒在直线y?x上方，求实数m的取值范围； ?1001?（Ⅱ）求证：e????1000?10004.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

?x?2cos?在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（?为参数），在以O为极点，

y?sin??x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(3,)，半径为1的圆.

2?（Ⅰ）求曲线C1，C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求MN的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲

已知a?0，b?0，函数f(x)?x?a?x?b的最小值为4. （Ⅰ）求a?b的值； 11（Ⅱ）求a2?b2的最小值.

49

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5: BDACB 6-10: BACDC 11、12：AB

二、填空题

13. ?2?3； 14. -13； 15.

16； 16. 4033. 3三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解：（Ⅰ）由正弦定理可得：所以a?abc43???2R?， sinAsinBsinC3434343sinA，b?sinB，c?sinC. 33343?sinA?sinB?sinC?43a?b?c. ??sinA?sinB?sinC3?sinA?sinB?sinC?3（Ⅱ）由c?43343??2， sinC，得c?3232由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC，即4?a2?b2?ab??a?b??3ab， 又a?b?ab，所以(ab)2?3ab?4?0，解得ab?4或ab??1（舍去）. 所以S?ABC?113absinC??4??3. 222

18.（Ⅰ）证明：在?BCA中，由于AB?2,CA?4,BC?25， ∴AB2?AC2?BC2，故AB?AC.

又平面SAB?平面ABCD，平面SAB?平面ABCD?AB.

AC?平面ABCD，∴AC?平面SAB，

又AC?平面SAC，故平面SAC?平面SAB.

（2）如图建立A?xyz空间直角坐标系，A?0,0,0?，B?2,0,0?，

????????S1,0,3，C?0,4,0?，CS?1,?4,3，BC=??2,4,0?，

????????AC?0，4，0?，

?设平面SBC的法向量n?x1,y1,z1?，

???????n?BC?0???2x1?4y1?0由????? ????n?CS?0??x1?4y1?3z1?0?令y1?1，则x1?2，z1?2323???2,1,，∴n?????. 33???设平面SCA的法向量m??x2,y2,z2?，

?????????4y2?0m??AC?0??m??3,0,1. 由??????，令，∴x??3???2?m?CS?0??x2?4y2?3z?02????n?m219???219cosn,m?????，∴二面角B?SC?A的余弦值为. 1919n?m??19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2?2列联表如下

非围棋迷 围棋迷 合计

男 女 合计 30 45 75 15 10 25 45 55 100 将2?2列联表中的数据代入公式计算，得

K2?n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d??100?30?10?45?15?75?25?45?552?100?3.030 33因为3.030?3.841，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.

（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为

1?1?.由题意X?B?3,?，从而X的分布列为 4?3?X P E?X??np?3?0 27 641 27 642 9 643 1 6413139?.D?X??3???. 44441620.解：（Ⅰ）设动点N?x,y?，A?x0,y0?，因为AB?x轴于B，所以B?x0,0?， 设圆M的方程为M:x2?y2?r2，

41?3由题意得r??2，

所以圆M的程为M:x2?y2?4.

?????????x?x,由题意，AB=2NB，所以?0,?y0??2?x0?x,?y?，所以，即?0

y?2y,?0x2将A?x,2y?代入圆M:x?y?4，得动点N的轨迹方程?y2?1，

4x2（Ⅱ）由题意设直线l3x?y?m?0，设直线l与椭圆交于?y2?1，

422??y??3x?m,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，联立方程?2得13x2?83mx?4m2?4?0， 2??x?4y?4,?=192m2?4?13?4m2?4??16??m2?13??0，解得m2?13，

?83m?16??m2?13?26?43m?213?m2， ?13x1,2?