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二项式定理
一、二项式定理： ab
nCaCabCabCb
0n1n1knkknn nnnn n
ab的二项展开式，其中各项的系数 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有n1项
（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从 第一项开始，次数由0逐项加1到n
（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同 的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a1，bx，则 nCxCxCxCx 1x（nN） nnnn
0n1knknn
n
ab展开，得到一个多项式；
（nN）等号右边的多项式叫做
k
C(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。 n
（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式
n
另一方面，也可将展开式合并成二项式ab
knkk 二、二项展开式的通项：
Tk1Cab
n
knkk
二项展开式的通项
Tk1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了
n
二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广 泛应用
knkk 对通项
Tk1Cab(k0,1,2,3n)的理解：
n （1）字母b的次数和组合数的上标相同 （2）a与b的次数之和为n
（3）在通项公式中共含有 a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
1 13933等于（） 例1．
CnCCC
nnn
n
34C。1
2
n1n
n 4 3
n 1 4 D.
3
n A． 4B。
7 例2．（1）求
(12x)的展开式的第四项的系数；
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1 3
（2）求 的展开式中 x的系数及二项式系数 9
(x)
x
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三、二项展开式系数的性质：
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C
,
nC,CC,Cnnnnnnn
C,CC
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
nk
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：2
CnC；
maxn n1n1k
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即22
CnCC
nn max ③二项展开式的各系数的和等于
n
01nnn 2，令a1，b1即
CnCC(11)2
nn
④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a1，b1即 02132n
1 CnCCC
nnn
例题：写出
11
(xy)的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项和系数最小的项； （4）二项式系数的和； （5）各项系数的和
四、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式
n
(a1a2a)的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用n
二项式定理展开。
例题：求多项式
1
22)3
(x的展开式2
x
（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。 例题：求
(1x)x的展开式中2
(1)5
3
2(1)5
x的系数
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；
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例题：（1）如果在
1 x
4 x 2
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的
有理项。
（2）求
3
1
x2的展开式的常数项。
x
【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k 五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定 727
例题：已知
(12x)aaxaxax，求：
0127
（1） aaa；（2）a1a3a5a7；（3）|a0||a1||a7|.
127
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面： （1）进行近似计算
（2）证明某些整除性问题或求余数
n23,
（3）证明有关的等式和不等式。如证明：2nnnN取 中的四项即可。
2、各种问题的常用处理方法
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n
n11
2的展开式
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（1）近似计算的处理方法
当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求 6 例题：
(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是（）
A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34 （2）整除性问题或求余数的处理方法
①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式， 再利用二项式定理展开，这里的k通常为1，若k为其他数，则需对幂的底数k再次构造 和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b0)，有确定的一对整数q和r，满足abqr， 其中b为除数，r为余数，r0,b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数， 要注意转换成正数
63
2013除以7所得的余数
12n1
nCn1Cn2C被9除得的余数是（）例题：若n为奇数，则7777
nnn 例题：求
A．0B。2C。7D.8
n
(1x)的近似值。
1
例题：当nN且n>1，求证)3
2(1
n
n
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定
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