平差模型的稳健估计

平差模型的稳健估计

一、 概述

现代测量平差理论中，考虑粗差产生的原因和影响，在数据处理时可将粗差归为函数模型，或归为随机模型。将粗差归为函数模型，粗差即表现为观测量误差绝对值较大且偏离群体；将粗差归为随机模型，粗差即表现为先验随机模型和实际随机模型的差异过大。 将粗差归为函数模型，可解释为均值漂移模型，其处理的思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，得到一组比较净化的观测值，以便符合最小二乘平差观测值只具有偶然误差的条件；而将粗差归为随机模型，可解释为方差膨胀模型，其处理的思想是根据逐次迭代平差的结果来不断地改变观测值的权或方差，最终使粗差观测值的权趋于零或方差趋于无穷大，这种方法可以保证所估计的参数少受模型误差，特别是粗差的影响。 前已指出，在测量数据服从正态分布情况下，最小二乘估计具有最优统计性质。但最小二乘法对含粗差的观测量相当敏感，个别粗差就会对参数的估值产生较大的影响。下面是一个简单的例子：

设某量的真值为10，对其进行了8次观测得：

。

采用最小二乘估计，即取其平均值得

由上例可以看出，由于受粗差观测值的干扰，使最小二乘估计结果失实，与真值偏差较大。

稳健估计（Robust Estimation），测量中也称为抗差估计，正是针对最小二乘法抗粗差的干扰差这一缺陷提出的，其目的在于构造某种估计方法，使其对于粗差具有较强的抵抗能力。

二、 稳健估计的原理

<1>、它要求解决这类问题的估计方法应达到以下目标：

1． 假定的观测分布模型下，估值应是最优的或接近最优的。 2． 当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较小差异时，估值受到粗差的影响较小。 3． 当假设的分布模型与实际的理论分布模型有较大偏离时，估值不至于受到破坏性影响。

<2>、基本思想

在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使参数的估值尽可能避免

粗差的影响，得到正常模式下的最佳估值。稳健估计的原则是要充分利用观测数据（或样本）中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不大准确知道观测数据中有效信息和有害信息所占比例以及它们具体包含在哪些观测中，从抗差的主要目标着眼是要冒损失一些效率的风险，去获得较可靠的、具有实际意义的、较有效的估值。

<3>、准则

极大似然估计准则

设独立观测样本极大似然估计准则为

（5.2.1）

或

，

为待估参数，的分布密度为

，其

（5.2.2）

正态分布密度下的极大似然估计准则 设独立观测样本

，其密度函数为

参数

的极大似然估计准则由（5.2.1）式得

或 （5.2.3）

亦即正态分布密度下的极大似然估计准则就是最小二乘估计准则。 稳健估计的极大似然估计准则

稳健估计基本可以分为三大类型，即

估计：又称为极大似然估计，基于1964年Huber所提出的估计理论，

丹麦的Krarup和Kubik等人于1980年将稳健估计理论引入测量界。

估计：又称为排序线性组合估计，在测绘界也有一定范围应用。 估计：又称秩估计，目前在测绘界应用还很少。

三、 基于选权迭代法的稳健估计方法

设独立观测值为

，未知参数向量为

，误差方程及权阵为

式中为

系数向量。

估计的函数

（5.3.1）

考虑误差方程，可表述为

（5.3.2）

等权独立观测的选权迭代法

设（5.3.1）式中的权阵然估计准则并取

，即

，按估计极大似

函数为（5.3.2）式，则为

（5.3.3）

上式对求导，同时记，可得

对上次进行转置，得

或 （5.3.4）

再令，并将（5.3.4）写成矩阵形式，得 （5.3.5）

式中

（5.3.6）

称为稳健权矩阵，其元素

称为稳健权因子，简称权因子，是相应残差

估计的法方程式为

的函

数。

将误差方程（5.3.1）代入所得

（5.3.7）

当选定函数后，稳健权阵

可以确定，但

是

的函数，故稳健估计需要对

权进行迭代求解。

不等权独立观测的选权迭代法

误差方程及权阵为（5.3.1）式，Huber于1964提出的估计准则（5.3.3）没有考虑测量中不等精度观测情况，但这种情况在测量平差中是普遍情形，为此，周江文教授于1989年提出了不等权独立观测情况下的估计准则[2]为

（5.3.8）

与第一节推导类似，将上式对求导，同时记，可得

（5.3.9）

令，，则有

或 将

（5.3.10） 代入，可得

估计的法方程为

（5.3.11）

式中

为等价权阵，

为等价权元素，是观测权

与权因子

之积，其定义由