a·b1
则cos θ＝＝＝－.
|a||b|27×7
2π2π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为. 33
反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
3
跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a2与b的夹角θ.
|a|cos θ＝－3，??
解 ∵?3
|b|cos θ＝－，?2?－9??|b|＝－3，即?－93
＝－??|a|2，∴cos θ＝
7
－2
a·b??|b|＝－3， ∴?a·b3
＝－??|a|2，
?|a|＝6，?
∴???|b|＝3.
a·b－91＝＝－. |a||b|6×32
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D
解析 向量b在a方向上的投影为 |b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
2.设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A
解析 ∵|a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝10， |a－b|＝(a－b)＝a－2a·b＋b＝6， 由①－②得4a·b＝4， ∴a·b＝1.
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)＝________.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
① ②
5
答案 11
解析 (a＋2b－c)＝a＋4b＋c＋4a·b－2a·c－4b·c＝1＋4×2＋3＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.
→→→→→
4.在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·BC的值是________. 答案 －25
→2→2→2
解析 易知|AB|＝|BC|＋|CA|，C＝90°. 5
∴cos B＝，
13
→→
又cos 〈AB，BC〉＝cos(180°－B)， →→→→
∴AB·BC＝|AB||BC|cos(180°－B)
2
2
2
2
2
2
2
?5?＝13×5×?－?＝－25. ?13?
5.已知正三角形ABC的边长为1，求： →→→→→→(1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC. →→
解 (1)∵AB与AC的夹角为60°.
11→→→→
∴AB·AC＝|AB||AC|cos 60°＝1×1×＝.
22→→
(2)∵AB与BC的夹角为120°， →→→→
∴AB·BC＝|AB||BC|cos 120° 1?1?－＝1×1×??＝－.
2?2?→→
(3)∵BC与AC的夹角为60°，
11→→→→
∴BC·AC＝|BC||AC|cos 60°＝1×1×＝.
22
1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分.
6
4.求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为
a·ba·b，a在b方向上的投影为. |a||b|
25.两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝a.
课时作业
一、选择题
1.已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝19，则|a－b|等于( ) A.7 C.15 答案 A
解析 因为|a＋b|＝19，所以a＋2a·b＋b＝19， 所以2a·b＝19－4－9＝6，
于是|a－b|＝|a－b|＝4－6＋9＝7.
2.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( ) A.－6 B.6 C.－63 D.63 答案 C
3.已知|a|＝9，|b|＝62，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150° 答案 B
2
2
2
2
B.13 D.17
a·b－542
解析 ∵cos θ＝＝＝－，
|a||b|9×622
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
4.若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A.－3 B.－2 C.2 D.－1 答案 D
解析 向量a在向量b方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1. 5.已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( ) A.|a|＝a·a B.|a·b|＝|a||b| C.λ(a·b)＝λa·b
7
D.|a·b|≤|a||b| 答案 B
解析 因为|a·b|＝||a||b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a||b||cos θ|， 当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a||b|，故B错.
6.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( ) π
A.[0，] 6π2π
C.[，]
33答案 B
解析 ∵Δ＝a－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0，即a－4|a||b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，
∴Δ＝4|b|－8|b|cos θ≥0， 1∴cos θ≤，
2又∵0≤θ≤π， π
∴≤θ≤π. 3
7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到→→
点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( ) 51111A.－ B. C. D.
8848答案 B
→→→解析 如图所示，∵AF＝AD＋DF
2
2
2
2
2
π
B.[，π]
3π
D.[，π]
6
1→3→＝AB＋AC， 24→→→BC＝AC－AB，
→→1→3→→→∴AF·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)
24
8
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