iz1．
?e 其中C为正向圆周：z?2
cz??dz＝21?i2．
?zezdz＝ 13．若fn(z)=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)(zi?zj;i?j,i,j=1,…,n,n>1),又若封闭曲线C不通过每一点zi,则积分
?dzcf能取 个不同的值。 n(z)4．
?2z?1z?1z2?zdz＝ 25．
sinzdzz??i?3z?i＝
sinzdz＝ z?2??2z?i?ez二．求积分dz其中Ccz(z?2i)为正向圆周：z?3i?4
三．求函数z2?1z2?1沿正向圆周C：z?z0?1的积分值，设圆周C的圆心分别在：
（1）z10=1; (2) z0=2; (3) z0=-1; (4) z0=-i
四．设f(z)=3?2?2??1d? ???2??z(1)试证f(1)=4?i
(2)当z?2时，试求f(z)之值
练习八 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系 一．填空题
1．zezdz＝z??1)2 ?2(z2．
sinz2dz＝ z?zn?13．如果二元实变函数f(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，并且满足 ，那么称f(x,y)为区域D内的调和函数。
4．区域D内的解析函数的虚部 （是，不是）实部的共轭调和函数，实部
（是，不是）虚部的共轭调和函数。
是不通过z)=?z4?z2二．设C0的简单闭曲线，试求g(z03的值。 c(z?z0)三．求积分
?sinz2dz的值，若C为正向圆周： cz(z?1)（1）z?12 （2）z?1?1112 （3）z?2?3
四．已知u?2(x?1)y为调和函数，求满足f(2)=-i的解析函数f(z)=u+iv 练习九 复数项级数 幂级数 一．选择题
1．下列数列极限不存在的是（ ）
5
n?n?A．?1?nii?n?i1?n?1?ni B.?n?(1?2) C.?n?e2 D.?n?2ine
2．下列结论正确的是（ ）
A．每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛 B．每一个幂级数收敛于一个解析函数
C．每一个在z0连续的函数一定可以在z0的领域内展开成幂级数 D．在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数 3．下列级数绝对收敛的是（ ）
?in?in?(6?5i)n?A．? B.?(?1)n1i? n?1n? C.n?2lnn? D.n?08n??n?1??n2n??4.下列级数收敛半径为
1e的是（ ） ????(1?i)nzn? B.?ei?nzn C.?(cosin)zn D.(z?1)nA．n?0?1n?0?
nn?1n5．lim?nn??=（ ）
A．0 B.? C.1 D.??1为0 ??1为? ??1为1 ??1 ??1时不存在二．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
?（1）?1?i2n?1? （2）n?(1?i?inn?1n?n）)nn?12n(1?i) （3?n?1n （4）?
22cosinn?1n???三．设级数
?Cn收敛，而
n发散，证明
Cnzn的收敛半径为1
n?0?Cn?0?n?0练习十 泰勒级数 洛朗级数
一．将函数f(z)=
zz2?2z?3展开成z的幂级数，写出它的收敛圆周。 二．求函数
1z2在点z0＝-1处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径。 三．（1）求函数f(z)=
2z?1z2?z?2在以z＝0为中心，由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式。
（2）求函数f(z)=
1z2?z?2在以z＝1为中心的圆环域： ① 0?z?1?3 ②3?z?1???内的洛朗展开式。 练习十一 孤立奇点
一．选择题 1．Z＝0是函数
sinzz的（ ） A．可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.解析点
2．z＝1是f(z)=
z?2(z2?1)(z?1)3的（ ） A．可去奇点 B.三级极点 C.本性奇点 D.二级极点 3．z＝1是f(z)＝z3?1的（ ）
A．一级零点 B.三级零点 C.一级极点 D.三级极点
4．z＝0是函数f(z)=
1z?sinz的 级极点
A．一级 B.二级 C.三级 D.四级 5．?是f(z)=
zz?1的（ ） A．可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.二级极点
6
二．求出函数f(z)=
11?ez 的奇点，如果是极点，指出它的级。 三．函数f(z)=
z7在扩充复平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指出它的级。 (z2?4)2cos1z?2练习十二 留数 留数在定积分计算上的应用 一．填空题
11． 设f(z)=ez，则Res?f(z),0?=
2． Res??zez?z2?1,1??= ?3． Res??1??cos1?z,1??=
4． Res?2z???3?z2,???= 5． Res??z?sinz??z6,0??= 二．求函数f(z)=
z1在各有限孤立奇点处的留数。
ez(1?z2)三．利用留数计算
?dzz(z3?1)，其中C为一正向圆周
c（1）C的中心在0点，半径为
12 （2）C的中心在0点，半径为2
四．计算积分
?1cz(z?1)4(z?4)dz，C为正向圆周：z＝5 五．计算下列积分
2?????（1）
?d? （2）12dx （3）xsinxdx 04?sin???2?(1?x)??2?1?x六．如果f(z)在z?1解析，证明在z?1时等式
(1?z2)f(z)?12?if(?)(1?z???z)d?成立。 ???1练习十三 共形映射的概念 分式线性映射 一．填空题
1．设函数??f(z)在z0的领域内有定义，且在z0具有 ，那么称映射??f(z)在z0是共形的，或称??f(z)在z0是共形映射。
2．??z2在z=i处伸缩率为 ，旋转角为 。
3．一个解析函数所构成的映射在 条件下具有伸缩率和旋转角的不变性。 4．映射??z是第 类共形映射。
5．映射??z2把上半个圆域：z?R，Im(z)?0映射成 二．证明：映射??z?1z 把圆周z?c映射成椭圆： u?(c?1c)cos? v?(c?1c)sin?
三．如果函数??az?bcz?d将z平面上的单位圆z?1映射成?平面上的直线，试求a,b,c,d应满足的条件。
7
四．区域0?Im(z)?12在映射??1z下映射成什么？
练习十四 唯一决定分式线性映射的条件 几个初等函数所构成的映射 一．选择题
1．下面几个映射中，能将上半平面映射成上半平面的映射为（ ） A．W?az?bcz?d ad?bc?0,a,b,c,d为实常数
B．W?az?bcz?d ad?bc?0,a,b,c,d为实常数
C．W?ei?(z??z??)， ?,?为实数 D．W?ez
2．指数函数W?ez将水平的带形域0?Im(z)?a(a??)映射成（ ）
A．角形域0?argW?ea B.角形域0?argW?2?
C．角形域0?argW?a D.圆域W?ea
3．能将点z＝1,i,-i分别映射成点w＝1,0,-1的分式线性映射为（ ）
A．W?z?i(1z?i B.W??i)(z?i)(1?i)(z?i)
C.W?(1?i)(z?i)(1?z)?3i(1?z) D. W?(1?i)(z?i)(1?z)?i(1?z)
4.下面几个映射中，能将右半平面Re(z)?0映射成单位圆w?1的映射为（A．W?z2 B.W?ei?(z??z??) 其中Re(?)?0,?为任意实数 C．W?z D.W?ei?(z??z??) 其中Re(?)?0,?为任意实数 二．已知分式线性变换W?f(z)将上半平面变到上半平面，且满足f(0)=0,f(i)=1+i，求f(z)
三．求把区域z?i?2,z?i?2变到上半平面Im(W)?0的一个映射。
8
）
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