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2012中考数学压轴题精选精析（31-40例）
31、（2011?日照）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：代数几何综合题。
分析：（1）根据已知条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了； （2）根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可去顶AC和AC边上的高的长度，就可以计算出△ABC的面积了；
（3）根据题意画出图形，根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标，CD∥AB，得出直线CD相应的一次函数，然后结合D点也在抛物线上，解方程组，求D点坐标
解答：解：（1）把点B（﹣2，﹣2）的坐标，代入y=，
得：﹣2=，∴k=4．
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即双曲线的解析式为：y=．（2分）
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn=4．① 又∵tan∠AOx=4，∴=4，即m=4n．② 又①，②，得：n2=1，∴n=±1．
∵A点在第一象限，∴n=1，m=4，∴A点的坐标为（1，4） 把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；（4分）
（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，
代入y=x2+3x，得方程x2+3x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=1（舍去）． ∴C点的坐标为（﹣4，4），且AC=5，（6分）
又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=×5×6=15；（7分）
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积． 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．
因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（﹣4，4），CD∥AB， 所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12．（9分） 解方程组
得
所以点D的坐标是（3，18）（10分）
解得a=1，b=3；
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和双曲线解析式以及三角形的面积求法．关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式，曲线解析式和直线解析式
32、（2011?毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴． （1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求
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此直线的解析式．
（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；
（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； （3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBM，得出出P点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得： 3=3a， ∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，
，即可求出圆的半径，即可得
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∴AC×BC=6，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点， ∴二次函数对称轴为x=2， ∴AC=3， ∴BC=4，
∴B点坐标为：（2，4）， 一次函数解析式为；y=kx+b， ∴
，
解得：，
y=x+；
（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，
∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，
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