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15 随机变量及其应用
1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有使用过的、3个已经使用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经使用过的球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为().
A. B. C. D.
解析?“X=4”表示从盒中取了2个已经使用过的球,1个没有使用过的球,故P(X=4)==. 答案?C
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X P 1 2 3 则X的数学期望E(X)=().
A. B.2 C. D.3
解析?由数学期望公式可得E(X)=1×+2×+3×=. 答案?A
3.已知随机变量X服从正态分布N(0,8),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=.
解析?因为μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-2×0.023=0.954. 答案?0.954
4.若随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p=.
解析?因为随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以解得p=. 答案?
能力1 ?求离散型随机变量的分布列
【例1】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:
[15,25[25,35[35,45[45,55[55,65[65,75年龄/岁 ) ) ) ) ) ] 2
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频数 赞成人数 5 4 10 6 15 9 10 6 5 3 5 4 (1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;
(2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列. 解析?(1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为
P=·+·=×+×=.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=·=×=, P(ξ=1)=·+·=×+×=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=·=×=, ∴ξ的分布列是
ξ 0 1
离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义. (2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格:按规范要求写出分布列.
(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.
已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
解析?(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)==. (2)X的可能取值为200,300,400.
2 3 P P(X=200)==,
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P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300) =1--=.
故X的分布列为
X P 200 300 400 能力2 ?相互独立事件同时发生的概率
【例2】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
解析?记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,与F,E与,与都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=, 于是P()=P()P()=×=, 故所求的概率P(H)=1-P()=1-=.
(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220, 因为P(X=0)=P()=×=,
P(X=100)=P(F)=×=, P(X=120)=P(E)=×=, P(X=220)=P(EF)=×=.
故所求的分布列为
X P 0 100
120 220 (1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
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某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为,“三步上篮”的命中率为,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响.
(1)求小明同学两项测试合格的概率;
(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列.
解析?设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai(i=1,2),第j次“三步上篮”命中为事件Bj(j=1,2), 依题意有P(Ai)=(i=1,2),P(Bj)=(j=1,2),“小明同学两项测试合格”为事件C. (1)P()=P(1)+P(A2)+P(A1)
=P()P()+P()P(A2)P()P()+P(A1)P()P() =+××+×=. ∴P(C)=1-=.
(2)依题意知ξ=2,3,4,
P(ξ=2)=P(A1B1)+P()=P(A1)P(B1)+P()P()=, P(ξ=3)=P(A1B2)+P(A2B1)+P(A1)
=P(A1)P()P(B2)+P()P(A2)P(B1)+P(A1)P()P()=, P(ξ=4)=P(A2)=P()P(A2)P()=.
故投篮的次数ξ的分布列为
ξ 2 能力3 ?独立重复试验与二项分布
【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本,然后称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列; (3)用样本估计总体,从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列. 解析?(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3, 故质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).
(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件.
3 4 P
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