江苏专用高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.2平面向量基本定理及坐标表示教案含解析

江苏专用高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.2

平面向量基本定理及坐标表示教案含解析

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

考情考向分析 主要考查向量的加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题．

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

2

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→22②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?＋?y2－y1?. 3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0.

概念方法微思考

1

1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？

提示 不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样． 2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？

提示 不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) →→

(3)在等边三角形ABC中，向量AB与BC的夹角为60°.( × )

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )

题组二 教材改编

2．[P79练习T6]已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为． 答案 (1,5)

→→

解析 设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

??4＝5－x，即???1＝6－y，

x1y1

x2y2

??x＝1，解得?

??y＝5.

3．[P82T8]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝. 1

答案 －

2

解析 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，

得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线，

mn 1

得

2m－n3m＋2nm1

＝，所以＝－. 4－1n2

题组三 易错自纠

4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝. 答案 0

→→5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝. 答案 (－7，－4)

→

解析 根据题意得AB＝(3,1)，

→→→

∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝. 答案 －6 解析 因为a∥b，

所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.

题型一 平面向量基本定理的应用

→

例1如图，在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点

E，设OA＝a，OB＝b.

→→

→→

(1)用a和b表示向量OC，DC； →→

(2)若OE＝λOA，求实数λ的值． 解 (1)由题意知，A是BC的中点， →2→

且OD＝OB，由平行四边形法则，

3→→→得OB＋OC＝2OA，

1

→→→

所以OC＝2OA－OB＝2a－b， 25→→→

DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.

33→→→→

(2)由题意知，EC∥DC，故设EC＝xDC. →→→

因为EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa 5→

＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b.

35??所以(2－λ)a－b＝x?2a－b?. 3??

因为a与b不共线，由平面向量基本定理， 2－λ＝2x，??

得?5

－1＝－x，?3?4故λ＝.

5

思维升华应用平面向量基本定理的注意事项

(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．

(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．

(3)强化共线向量定理的应用．

→2→1→

跟踪训练1在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交

33→→

点为M，又CM＝tCP，则t的值为． 3答案 4

→2→1→

解析 ∵CP＝CA＋CB，

33→→→

∴3CP＝2CA＋CB， →→→→即2CP－2CA＝CB－CP， →→∴2AP＝PB，

即P为AB的一个三等分点，如图所示．

1

3x＝，??5解得?4

λ＝??5.

方法一 ∵A，M，Q三点共线， →→→∴CM＝xCQ＋(1－x)CA

x→→＝CB＋(x－1)AC， 2

→→→→x→?x?→而CB＝AB－AC，∴CM＝AB＋?－1?AC.

2?2?→→→→1→

又CP＝CA－PA＝－AC＋AB，

3→→

由已知CM＝tCP，可得

x→?x?→?→1→?AB＋?－1?AC＝t?－AC＋AB?，

2

?2??3?

→→

又AB，AC不共线，

xt??2＝3，∴?x??2－1＝－t，

3

解得t＝.

4

方法二 过Q作PC的平行线交AB于D， 1

∵Q是BC中点，∴QD＝PC，且D是PB中点，

23

∴QD＝2PM，∴PC＝4PM，∴CM＝CP，

43→→

又CM＝tCP，∴t＝.

4

题型二 平面向量的坐标运算

→

例2(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为． 答案 (2,0)

解析 设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)， ∴x＝2，y＝0.

→→→

(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝.

1