PyD=∫AγhydA=γsinα∫Ay2dA
式中∫Ay2dA为平面EF对Ox轴的惯性矩，以Jx表示。故得
PyD=γsinαJx
若以Jcx表示平面EF对通过形心C并与Ox轴平行的轴的惯性矩，则根据惯性矩的平行移轴定理可得：Jx=Jcx+yc2A。因此有
PyD=
由此得
yD??sin?(JCx?yCA)
2?sin??JCx?yCA?2?yCsin?A?yC?JCxyCA
除平面水平放置外，总压力作用点总是在作用面形心点之下。常见平面图形的面积A、形心距上边界点长yc以及惯性矩Jcx的计算式见表2-2。
表2-2 常见平面的A、yc及Jcx 几何图形及名称 面积A 形心至上边界点长yC 1223相对于图上Cx轴的惯性矩JCx 112136bhbh3相对于图上底边的惯性矩Jb 13112
bh 12bhh h bhbh3 33h?a?b?22?r h?a?2b??? 3?a?b?322h?a?4ab?b??? ??36?a?b? r 43?r14?r ?64r 4412?r 2? 9?2?8r472? 根据同样道理，对Oy轴取力矩，可求得压力中心的另一个坐标xD为 xD?xC?JCxyyCA (2-5-4)
式中Jcxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯性积 Jcxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压力中心D可能在形心C的这边或那边。
应当指出，以上分析作用于平面上的总压力的大小及压力中心时，讨论的均是液体的表面处于大气之中的情况。若液体表面上的压强不是当地大气压强，则不能照搬以上结果，读者可自行分析之。实际工程中的被作用平面，一般具有纵
向对称轴，则压力中心D必落在对称轴上，不必计算xD。
例2-3 设有一铅直放置的水平底边矩形闸门，如图2-21所示。已知闸门高度H=2m，宽度b=3m，闸门上缘到自由表面的距离h1=1m。试用绘制压强分布图的方法和解析法求解作用于闸门的静水总压力。
图2-21
解： (1)利用压强分布图求解
绘制静水压强分布图ABEF，如图2-21所示。根据式(2-5-1)可得静水总压力大小为
P=Ωb==
1212［γh1+γ(h1+H)］Hb
［9.8310331+9.831033(1+2)］3233=1.1763105(N)=117.6(kN)
静水总压力P的方向垂直于闸门平面，并指向闸门。压力中心D距闸门底部的位置e为
H2h1??h1?H?22?1??1?2?e??=0.83(m)
3h1??h1?H?31??1?2?其距自由表面的位置为
yD=h1+H-e=1+2-0.83=2.17(m)
(2)用分析法求解
由式(2-5-2)可得静水总压力大小为
P=γhcA=γ(h1+
H222)(H+b)=9.831033(1+)(233)=1.1763105(N)=117.6(kN)
静水总压力P的方向垂直指向闸门平面。由式(2-5-4)得压力中心D距自由表面的位置为
bHyD?yc?JCx3H??12??h1???H?yCA?2???h1???H?b?2??3?23
2?24?12?2??2.17?m??1???22144?????1???2?3?2??§2-6 曲面上的静水总压力
在实际工程中常常会遇到受液体压力作用的曲面，例如拱坝坝面、弧形闸门、U形液槽、泵的球形阀、圆柱形油箱等。这就要求确定作用于曲面上的静水总压力。作用于曲面上任意点的静水压强也是沿着作用面的法线指向作用面，并且其大小与该点所在的水下深度成线性关系。因而与平面情况相类似，也可以由此画出曲面上的压强分布图，如图2-22所示。
图2-22
由于曲面上各点的法线方向各不相同，因此不能像求平面上的总压力那样通过直接积分求其合力。为了将求曲面上的总压力问题也变为平行力系求合力的问题，以便于积分求和，通常将曲面上的静水总压力P分解成水平分力和铅直分力，然后再合成P。在工程上，有时不必求合力，只需求出水平分力和铅直分力即可。因为工程上多数曲面为二维曲面，即具有平行母线的柱面或球面。在此先着重讨论柱面情况，然后再将结论推广到一般曲面。
当二维曲面的母线为水平线时，可取Oz轴铅直向下，Oy轴与曲面的母线平行。此时二维曲面在xOy平面上的投影将是一根曲线，如图2-23上的EF。在这种情况下，Py=0，问题转化为求Px和Pz的大小及其作用线的位置。
图2-23
图2-23为一母线与水平轴Oy平行的二维曲面，面积为A，曲面左侧承受静水压力作用，自由表面上的压强为当地大气压强。在深度为h处取一微元柱面ef，面积为dA。由于该柱面极小，故可将其近似为一平面，则作用在此微元柱面上的水压力dP=pdA=γhdA，它垂直于该微元柱面，与水平线成θ角，dP可以分解成水平分力dPx和铅直分力dPz两部分：
dPx=dPcosθ=γhdAcosθ dPz=dPsinθ=γhdAsinθ
式中θ是该微元柱面与铅直面的夹角，所以dAcosθ可以看成是该微元柱面在铅直面yOz上的投影面积dAx；dAsinθ可以看成是微元柱面在水平面上的投影面积dAz。于是得作用于整个曲面上静水总压力的水平分力Px为
Px=∫AdPx=∫AγhdAcosθ=γ∫AxhdAx
∫AhdAx表示曲面EF在铅直面yOz上的投影面对水平轴Oy的静面矩。如以hc表示铅直投影面的形心在液面下的深度，则由静面矩定理得
∫AxhdAx=hcAx
于是得
Px=γhcAx
(2-6-1)
上式表明：作用于二维曲面EF上的静水总压力P的水平分力Px等于作用于该曲面的铅直投影面Ax上的静水总压力。因此可按确定平面上静水总压力(包括大小和作用点)的方法来求解Px。作用于曲面上静水总压力P的铅直分力Pz为
Pz=∫AdPz=∫AγhdAsinθ=∫AzγhdAz
从图2-23可以看出：γhdAz为微小柱面ef上的液体重，即图中efe″f″柱状体内的液体重。因此，∫AzγhdAz应是整个曲面EF上的液体重，即柱状体EFE″F″内的液体重，即EFE″F″这部分体积乘以γ。于是，将柱体EFE″F″称为压力体(Pressure Volume)，其体积以V表示。
压力体应由下列界面所围成：
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